《2025年新课标同步单元练习七年级数学上册北师大版深圳专版》

2. 用数学的眼光观察：
甲、乙两位同学用标有数字 1,2,…,9 的 9 张卡片做游戏。甲同学：“你先从这 9 张卡片中随意抽取两张(按抽取的先后顺序分别称为“卡片 A”和“卡片 B”),别告诉我卡片上是什么数字,然后你把卡片 A 上的数字先乘 5,再加 7,乘 2,最后加上卡片 B 上的数字,把最后得到的数告诉我,我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦！”乙同学：“这么神奇？我不信。”
用数学的思维思考：
(1) 如果乙同学抽出的卡片 A 上的数字为 3,卡片 B 上的数字为 6,他最后得到的数 $M$ 为50；
(2) 若乙同学最后得到的数 $M$ 为 76,则卡片 A 上的数字为6,卡片 B 上的数字为2。
用数学的语言表达：
(3) 请你说明：对任意告知的数 $M$,甲同学是如何猜到卡片的。
设卡片 A 上的数字为 x，卡片 B 上的数字为 y(其中 x，y 均为 1，2，…，9 这 9 个数字中的一个)，则 M=2(5x+7)+y=(10x+y)+14，得 M-14=10x+y，所以由告知的 M 的值减去 14，所得两位数的十位上的数字为卡片 A 上的数字 x，个位上的数字为卡片 B 上的数字 y。

答案： 解：
(1)50
解析：M=(3×5+7)×2+6=50。
(2)6 2 解析：设卡片 A 上的数字为 x，卡片 B 上的数字为 y，
则 (5x+7)×2+y=76，
10x+14+y=76，
10x+y=62。
因为 x，y 都是 1，2，…，9 这 9 个数字中的一个，
所以 x=6，y=2。
(3)设卡片 A 上的数字为 x，卡片 B 上的数字为 y(其中 x，y 均为 1，2，…，9 这 9 个数字中的一个)，
则 M=2(5x+7)+y=(10x+y)+14，
得 M-14=10x+y，
所以由告知的 M 的值减去 14，所得两位数的十位上的数字为卡片 A 上的数字 x，个位上的数字为卡片 B 上的数字 y。

3. 【综合与实践·操作探究】
图 3 - 1 - 6①是某校操场实物图,图 3 - 1 - 6②是该校操场示意图,每条跑道由两条直的跑道和两端的半圆形的跑道组成,每两条跑道之间的距离是相等的,活动小组对学校操场跑道最内圈长为 400 米的跑道进行规划设计,且最内圈两端半圆弧的半径 $R$ 为 36 米。($\pi$ 取 3)
(1) 分别求出最内圈两端半圆形跑道的总长度和直道的总长度；
(2) 在活动中发现最外沿跑道周长随跑道宽度(距最内圈的距离)的变化而变化,请完成表 3 - 1 - 2：

若 $a$(米)表示跑道宽度,$b$(米)表示最外沿跑道周长,试用含 $a$ 的代数式表示 $b$；
(3) 现学校计划铺设跑道宽度为 1 米的跑道共 6 条,则该校操场最外沿跑道的周长约为多少米？

(1)最内圈两端半圆形跑道的总长度为 2πR≈2×3×36=216(米)，直道的总长度约为 400-216=184(米)。
所以最内圈两端半圆形跑道的总长度约为 216 米，直道的总长度约为 184 米。
(2)
跑道宽度/米 0 1 2 3 4 …
最外沿跑道周长/米 400 406 412 418 424 …
最外沿跑道周长 b=400-2πR+2π(R+a)=2πa+400≈6a+400。
(3)a=1×6=6(米)，把 a=6 代入 b≈6a+400，
得 b≈6×6+400=436(米)。
所以该校操场最外沿跑道的周长约为 436 米。

答案： 解：
(1)最内圈两端半圆形跑道的总长度为 2πR≈2×3×36=216(米)，直道的总长度约为 400-216=184(米)。
所以最内圈两端半圆形跑道的总长度约为 216 米，直道的总长度约为 184 米。
(2)如答表 3-1-2：
答表 3-1-2
跑道宽度/米 0 1 2 3 4 …
最外沿跑道周长/米 400 406 412 418 424 …
最外沿跑道周长 b=400-2πR+2π(R+a)=2πa+400≈6a+400。
(3)a=1×6=6(米)，把 a=6 代入 b≈6a+400，
得 b≈6×6+400=436(米)。
所以该校操场最外沿跑道的周长约为 436 米。