《2025年新课标同步单元练习七年级数学上册北师大版深圳专版》

8. 如图 3 - 1 - 7 所示,一块正方形纸板剪去四个相同的三角形后留下了阴影部分所示的图形。已知正方形的边长为$a$,三角形的高为$h$。
(1)用式子表示阴影部分的面积；
(2)当$a = 2$,$h= \frac{1}{2}$时,求阴影部分的面积。

答案： 8.解：
(1)阴影部分的面积为$a^{2}-4×\frac{1}{2}ah=a^{2}-2ah$。
(2)当$a=2$，$h=\frac{1}{2}$时，阴影部分的面积为$a^{2}-2ah=2^{2}-2×2×\frac{1}{2}=2$。

1. 对于题目：“已知$x^{2}-2x - 1 = 0$,求代数式$3x^{2}-6x + 2020$的值。”采用“整体代入”的方法(换元法),可以比较容易地求出结果。
(1)设$x^{2}-2x = y$,则$3x^{2}-6x + 2020=$$3y+2020$(用含$y$的代数式表示)。
(2)根据$x^{2}-2x - 1 = 0$,得到$y = 1$,所以$3x^{2}-6x + 2020$的值为2023。

答案： 1.
(1)$3y+2020$ 解析：因为$x^{2}-2x=y$，所以$3x^{2}-6x+2020=3(x^{2}-2x)+2020=3y+2020$。
(2)2023 解析：因为$y=1$，所以$3x^{2}-6x+2020=3y+2020=3×1+2020=2023$。

2. 某特色美食店优惠大酬宾,推出以下两种优惠方案(如表 3 - 1 - 3)：

例：某次消费 120 元,按照方案一使用代金券后,实际花费$79+(120 - 100)= 99$(元)。
(1)若某次消费 240 元,按照方案一使用代金券后,实际花费198元。
(2)若某次实际花费 360 元,则使用不同优惠方案,分别消费多少元?
因为该次实际花费360元，所以如果用方案一：$360-3×79=123$(元)，$300+123=423$(元)；如果用方案二：$360÷0.9=400$(元)。
(3)小明一家春节期间去该美食店消费了$x(x\gt300)$元。
①若按照方案一使用代金券进行优惠,则实际花费$x-63$元；若按照方案二进行优惠,则实际花费$0.9x$元。(两空均用含$x$的代数式表示)
②选择哪种方案更省钱?
令$0.9x=x-63$，解得$x=630$，所以当$300\lt x\lt630$时，按方案一更省钱；当$x=630$时，实际花费相同；当$x\gt630$时，按方案二更省钱。

答案： 2.解：
(1)198 解析：该次消费240元，使用代金券后，实际花费$2×79+(240-200)=198$(元)。
(2)因为该次实际花费360元，所以如果用方案一：$360-3×79=123$(元)，$300+123=423$(元)；如果用方案二：$360÷0.9=400$(元)。
(3)①$(x-63)$ $0.9x$ 解析：若按照方案一进行优惠，则实际花费$3×79+(x-300)=x-63$(元)。若按照方案二进行优惠，则实际花费$0.9x$元。
②令$0.9x=x-63$，解得$x=630$，所以当$300\lt x\lt630$时，按方案一更省钱；当$x=630$时，实际花费相同；当$x\gt630$时，按方案二更省钱。