《2025年新课标同步单元练习七年级数学上册北师大版深圳专版》

3. 某班数学小组在研究个位数字为 5 的两位数的平方的规律时,得到了下列等式：
第 1 个等式：$15^{2} = 15× 15 = 225 = (1× 2)× 100 + 25$；
第 2 个等式：$25^{2} = 25× 25 = 625 = (2× 3)× 100 + 25$；
第 3 个等式：$35^{2} = 35× 35 = 1225 = (3× 4)× 100 + 25$；
……
按照以上规律,解决下列问题：
(1)填空：$65^{2} = 65× 65 = $4225$=$$(6×7)×100+25$；
(2)已知 $1\leqslant n\leqslant 9$ 且 $n$ 为整数,猜想第 $n$ 个等式(用含 $n$ 的等式表示)。
猜想第n个等式为$(10n+5)^2=n(n+1)×100+25$(1≤n≤9，且n为整数)。

答案： 解：
(1)4225 (6×7)×100+25
(2)猜想第n个等式为$(10n+5)^2=n(n+1)×100+25$(1≤n≤9，且n为整数)。

1. 三角形有 3 个顶点,如果在它的内部再画 $ n $ 个点,并以这 $ (n + 3) $ 个点为顶点剪三角形,那么最多可以剪出多少个小三角形？
[问题探究]我们可以从 $ n = 1 $,$ n = 2 $,$ n = 3 $ 等具体的、简单的情形入手,探索最多可以剪出的小三角形个数的变化规律(如表 3 - 3 - 2)。

[问题解决]
(1) 当三角形内部有 4 个点时,最多可以剪出的小三角形个数为9；
(2) 你发现的变化规律是：三角形内部的点每增加 1 个,最多可以剪出的小三角形增加2 个；
(3) 猜想：当三角形内部点的个数为 $ n $ 时,最多可以剪出(2n+1) 个小三角形。

答案： 1.
(1)9 解析：根据题意得，当三角形内部有4个点时，最多可以剪出的小三角形个数为9。
(2)2 解析：因为当三角形内部点的个数为1时，最多可以剪出3个小三角形；当三角形内部点的个数为2时，最多可以剪出5个小三角形；当三角形内部点的个数为3时，最多可以剪出7个小三角形；当三角形内部点的个数为4时，最多可以剪出9个小三角形，所以变化规律是：三角形内部的点每增加1个，最多可以剪出的小三角形增加2个。
(3)(2n+1) 解析：因为1×2+1=3，2×2+1=5，3×2+1=7，…，所以当三角形内部点的个数为n时，最多可以剪出(2n+1)个小三角形。