《2025年新课标同步单元练习七年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 定义：若 $a + b = 2$,则称 $a$ 与 $b$ 是关于 1 的平衡数。
(1)$4$ 与-2是关于 1 的平衡数,$3 - x$ 与x-1是关于 1 的平衡数(第二个空用含 $x$ 的代数式表示)。
(2)若 $a = 2x^{2} - 3(x^{2} + x) + 4$,$b = 2x - [3x - (4x + x^{2}) - 2]$,判断 $a$ 与 $b$ 是不是关于 1 的平衡数,并说明理由。
a与b不是关于1的平衡数，理由如下：因为a=2x²-3(x²+x)+4，b=2x-[3x-(4x+x²)-2]，所以a+b=2x²-3(x²+x)+4+2x-[3x-(4x+x²)-2]=2x²-3x²-3x+4+2x-3x+4x+x²+2=6≠2，所以a与b不是关于1的平衡数。

答案：
(1)-2 x-1 解析：设4与a是关于1的平衡数，则4+a=2，解得a=-2，所以4与-2是关于1的平衡数。设3-x与b是关于1的平衡数，则3-x+b=2，解得b=2-(3-x)=x-1，所以3-x与x-1是关于1的平衡数。
(2)a与b不是关于1的平衡数，理由如下：因为a=2x²-3(x²+x)+4，b=2x-[3x-(4x+x²)-2]，所以a+b=2x²-3(x²+x)+4+2x-[3x-(4x+x²)-2]=2x²-3x²-3x+4+2x-3x+4x+x²+2=6≠2，所以a与b不是关于1的平衡数。

2. 如图 3-3,在一条数轴上,点 A,B,C 表示的数分别是 $2m + 1$,$3 - m$,$7 - 3m$。
(1)求 AC 的长度(用含 $m$ 的代数式表示)。
(2)若 $AB = 10$,求 BC 的长度。
(3)小明认为 $2AB - 3BC$ 的值与 $m$ 无关,你认为他的说法正确吗？如果正确,请证明；如果不正确,请说明理由。

答案：
(1)AC=(2m+1)-(7-3m)=2m+1-7+3m=5m-6。
(2)因为AB=(2m+1)-(3-m)=2m+1-3+m=3m-2=10，所以m=4。所以BC=(3-m)-(7-3m)=3-m-7+3m=2m-4。因为m=4，所以BC=2m-4=2×4-4=4。
(3)正确。证明如下：由
(2)知2AB-3BC=2(3m-2)-3(2m-4)=6m-4-6m+12=8，所以小明的说法正确。

3. 某商店出售一种商品,其原价为 $m$ 元,现有如下两种调价方案：一种是先提价 10%,在此基础上再降价 10%；另一种是先降价 10%,在此基础上再提价 10%。
(1)用这两种调价方案的结果是否一样？调价后的结果是不是都恢复原价？
(2)将两种调价方案分别改为：一种是先提价 20%,在此基础上再降价 20%；另一种是先降价 20%,在此基础上再提价 20%,这时结果怎样？
(3)你能总结出什么规律？

答案：
(1)方案一 先提价10%后的价格为(1+10%)m=110%m(元)，在此基础上再降价10%后的价格为110%m×(1-10%)=99%m(元)；方案二 先降价10%后的价格为(1-10%)m=90%m(元)，在此基础上再提价10%后的价格为90%m×(1+10%)=99%m(元)。用这两种调价方案的结果是一样的，调价后的结果都没有恢复原价。
(2)方案一 先提价20%后的价格为(1+20%)m=120%m(元)，在此基础上再降价20%后的价格为120%m×(1-20%)=96%m(元)；方案二 先降价20%后的价格为(1-20%)m=80%m(元)，在此基础上再提价20%后的价格为80%m×(1+20%)=96%m(元)。用这两种调价方案的结果是一样的，调价后的结果都没有恢复原价。
(3)在原价基础上，先以某百分数进行提价，在此基础上再降价同样的百分数，与先以某百分数进行降价，在此基础上再提价同样的百分数，最后结果一样，但都没有恢复原价。