《2025年新课标同步单元练习七年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 已知 $2 = 2$,$2^{2} = 4$,$2^{3} = 8$,$2^{4} = 16$,$2^{5} = 32$,$2^{6} = 64$,$2^{7} = 128$,$2^{8} = 256$,则 $2^{2024}$ 的末位数字是(D)。
A.2
B.4
C.8
D.6

答案： D

2. $\frac{\overbrace{2 × 2 × … × 2}^{m个2}}{\underbrace{3 + 3 + … + 3}_{n个3}} = $(A)。
A.$\frac{2^{m}}{3n}$
B.$\frac{2^{m}}{3^{n}}$
C.$\frac{2m}{3^{n}}$
D.$\frac{2m}{3n}$

答案： A

3. 测得一种树苗的高度与树苗生长的年数有关的数据如表3-3-1所示 (树苗原高100cm)：
表3-3-1

假设以后每年树苗的高度的变化规律与表中相同,请用含 $n$($n$ 为正整数)的代数式表示生长了 $n$ 年的树苗的高度：(100+5n)cm。

答案： (100+5n)

4. 对于正数 $x$ 规定 $f(x) = \frac{1}{1 + x}$,例如：$f(3) = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4}$,$f\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{5}{6}$,则 $f(2023)+f(2022)+… +f(2)+f(1)+f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)+… +f\left(\frac{1}{2022}\right)+f\left(\frac{1}{2023}\right)= $2022$\frac{1}{2}$。

答案： 2022$\frac{1}{2}$

5. 乐乐设计了一个有趣的运算程序：任意写出一个三位数(三位数字相同的除外),重新排列各位数字,使其组成一个最大的数和一个最小的数,然后用最大的数减去最小的数,得到差,然后把差重复这个过程。以 579 开始,按照此程序运算 2024 次后得到的数是495。

答案： 495

6. 嘉淇上小学时得知“一个数的各个数位上的数字之和能被 3 整除,那么这个数就能被 3 整除。”她后来做了如图3-3-11所示的分析：
嘉淇的分析：
```
258 = 2×100 + 5×10 + 8
= 2×(99 + 1) + 5×(9 + 1) + 8
= 2×99 + 2 + 5×9 + 5 + 8
= (2×99 + 5×9) + (2 + 5 + 8)
= 3(2×33 + 5×3) + 3×5,
因为 2×33 + 5×3 为整数,5 为整数,
所以 3(2×33 + 5×3) + 3×5 能被 3 整除,所以 258 能被 3 整除。
```
图3-3-11
(1)通过计算验证 258 能被 3 整除；
(2)用嘉淇的方法说明 4374 能被 3 整除；
(3)设 $\overline{abcd}$ 是一个四位数,$a$,$b$,$c$,$d$ 分别为对应数位上的数字,请说明若 $a + b + c + d$ 能被 3 整除,则这个数也可以被 3 整除。

答案： 解：
(1)因为258÷3=86，86为整数，
所以258能被3整除。
(2)4374=4×1000+3×100+7×10+4
=4×(999+1)+3×(99+1)+7×(9+1)+4
=4×999+4+3×99+3+7×9+7+4
=(4×999+3×99+7×9)+(4+3+7+4)
=3(4×333+3×33+7×3)+3×6，
因为4×333+3×33+7×3为整数，6为整数，
所以4374能被3整除。
(3)$\overline{abcd}$=1000a+100b+10c+d=a(999+1)+b(99+1)+c(9+1)+d
=999a+a+99b+b+9c+c+d
=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)
=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)，
因为a，b，c，d均为整数，
所以333a+33b+3c是整数，
所以3(333a+33b+3c)能被3整除，
所以若a+b+c+d能被3整除，
则$\overline{abcd}$也可以被3整除。