《2025年黄冈金牌之路练闯考八年级数学上册华师大版》

10. 如图,分别以三角形三边为直径向外作三个半圆,如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,那么这个三角形为(B)

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形

答案： B

11. 如图,正方形$ABCD是由9个边长为1$的小正方形组成,每个小正方形的顶点都叫格点,连结$AE$,$AF$,则$\angle EAF = $(B)

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

答案： B

12. 已知$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边长,若$(a - b)(a^{2}+b^{2}-c^{2}) = 0$,则$\triangle ABC$是等腰或直角三角形。(填三角形的形状)

答案： 等腰或直角

13. (南阳南召县期末)如图,在四边形$ABCD$中,$AB = AD = 6$,$\angle A = 60^{\circ}$,$BC = 10$,$CD = 8$。则$\angle ADC$的度数为150°。

答案： 150°

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$E为AB$边上的一点,连结$CE$并延长,过点$A作AD垂直CE的延长线于点D$,若$AD = 7$,$AB = 20$,$BC = 15$,$DC = 24$。
(1)试说明$\angle B$为直角；
(2)$S_{\triangle ADE}-S_{\triangle BCE}$的值为-66。

答案：
(1)
∵AD⊥CD,
∴∠D=90°.
∵AD=7,DC=24,
∴$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=7^{2}+24^{2}=25^{2}$.
∵AB=20,BC=15,$20^{2}+15^{2}=25^{2}$,
∴$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$.
∴△ABC是直角三角形，且∠B为直角;
(2)-66

15. 在$\triangle ABC$中,$CA = CB$,$\angle ACB = \alpha$,$P为\triangle ABC$内一点,将$CP绕点C顺时针旋转\alpha得到CD$,连结$AD$。
(1)如图①,当$\alpha = 60^{\circ}$,$PA = 10$,$PB = 6$,$PC = 8$时,求$\angle BPC$的度数；
(2)如图②,当$\alpha = 90^{\circ}$,$PA = 3$,$PB = 1$,$PC = 2$时,求$\angle BPC$的度数。

答案：
(1)连结DP,由旋转得∠ACB=∠DCP=60°,CD=CP,∠DCP=α=∠ACB,
∴∠ACD=∠BCP,又
∵CA=CB,
∴△ACD≌△BCP(SAS),
∴∠BPC=∠ADC,AD=PB=6,
∵CD=CP,∠DCP=60°,
∴△DCP是等边三角形,
∴DP=CP=8,∠CDP=60°.
∵AP=10,
∴$AD^{2}+DP^{2}=AP^{2}$,
∴△ADP是直角三角形,
∴∠ADP=90°,
∴∠BPC=∠ADC=∠ADP+∠CDP=150°;
(2)连结DP,易知△DCP是等腰直角三角形,
∴∠CDP=45°,易证△ACD≌△BCP,
∴∠BPC=∠ADC,DC=PC=2,AD=PB=1.
∴$DP^{2}=DC^{2}+PC^{2}=1+1=2$.
∵AP=3,
∴$AD^{2}+DP^{2}=AP^{2}$,
∴△ADP是直角三角形,且∠ADP=90°,
∴∠BPC=∠ADC=∠ADP+∠CDP=135°.