《2025年黄冈金牌之路练闯考八年级数学上册华师大版》

7.已知$A= 2a^{2}+3ab-2a-1,B= -a^{2}+\frac {1}{2}ab+\frac {2}{3}$.
(1)当$a= -1,b= -2$时,求$4A-(3A-2B)$的值;
(2)若(1)中式子的值与$a$的取值无关,求$b$的值.

答案：
(1)因为A=2a²+3ab-2a-1,B=-a²+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{2}{3}$,所以原式=4A-3A+2B=A+2B=2a²+3ab-2a-1-2a²+ab+$\frac{4}{3}$=4ab-2a+$\frac{1}{3}$,当a=-1,b=-2时,原式=4×(-1)×(-2)-2×(-1)+$\frac{1}{3}$=10$\frac{1}{3}$;
(2)由
(1)得,原式=(4b-2)a+$\frac{1}{3}$.由结果与a的取值无关,得到4b-2=0,解得b=$\frac{1}{2}$.

8.【发现】任意三个连续的整数中,最大数与最小数的平方差是$4$的倍数.
【验证】(1)$(-1)^{2}-(-3)^{2}的结果是4$的几倍?
(2)设三个连续的整数中间的一个为$n$,计算最大数与最小数的平方差,并说明它是$4$的倍数；
【延伸】任意三个连续的奇数中,最大数与最小数的平方差是$8$的倍数,请说明理由.

答案： 【验证】
(1)因为(-1)²-(-3)²=1-9=-8=4×(-2),所以(-1)²-(-3)²的结果是4的(-2)倍;
(2)设三个连续的整数分别为n-1,n,n+1,则(n+1)²-(n-1)²=n²+2n+1-n²+2n-1=4n.因为n是整数,所以任意三个连续的整数中,最大数与最小数的平方差是4的倍数;【延伸】设三个连续的奇数为n-2,n,n+2,则(n+2)²-(n-2)²=n²+4n+4-n²+4n-4=8n.因为n是奇数,所以任意三个连续的奇数中,最大数与最小数的平方差是8的倍数.

9.【发现】任意五个连续整数的平方和是$5$的倍数.
【验证】(1)$(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}的结果是5$的几倍?
(2)设五个连续整数的中间一个数为$n$,写出它们的平方和,并说明是$5$的倍数；
【延伸】任意三个连续整数的平方和被$3$除的余数是几呢？请写出理由.

答案： 【验证】
(1)(-1)²+0²+1²+2²+3²=1+0+1+4+9=15=5×3,即(-1)²+0²+1²+2²+3²的结果是5的3倍;
(2)设五个连续整数的中间一个数为n,则其余的4个整数分别是n-2,n-1,n+1,n+2,它们的平方和为(n-2)²+(n-1)²+n²+(n+1)²+(n+2)²=n²-4n+4+n²-2n+1+n²+n²+2n+1+n²+4n+4=5n²+10=5(n²+2).因为n是整数,所以n²+2是整数.所以五个连续整数的平方和是5的倍数;【延伸】设三个连续整数的中间一个数为n,则其余的2个整数是n-1,n+1,它们的平方和为(n-1)²+n²+(n+1)²=n²-2n+1+n²+n²+2n+1=3n²+2.因为n是整数,所以n²是整数,所以任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.