《2025年黄冈金牌之路练闯考八年级数学上册华师大版》

——教材 P98 信息技术应用拓展
1.【教材呈现】
我们前不久学习了等腰三角形的性质与判定,在一个三角形中,等边所对的角相等;反过来,等角所对的边相等.浓缩为一句话,就是“等边对等角,等角对等边”.
那么,不相等的边(或角)所对的角(或边)之间的大小关系怎样呢?
为了探究不等边(或角)所对角(或边)之间的大小关系,在数学活动课上,李老师给出如下问题:如图①,在$\triangle ABC$中,$AB＞AC$,求证:$∠ACB＞∠B$.
思路一:如图②,小涛认为:作$∠BAC的平分线AE$.$\because AB＞AC$,$\therefore在AB上截取AD= AC$,连结$DE$,利用全等以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可证明.
思路二:如图③,小亮认为:$\because AB＞AC$,$\therefore在AB边上截取AD= AC$,连结$CD$,利用等腰三角形的性质以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可证明.
(1)请你选择一名同学的解题思路,并完成他们的证明过程;
【类比分析】
通过上述过程可以看出,利用轴对称的性质,可以把研究边与角之间的不等问题,转化为两个关联量之间的比较问题.为了帮助学生更好地感悟转化思想,李老师又提出下面的问题,请你解答.
(2)如图①,在$\triangle ABC$中,$∠ACB＞∠B$.求证:$AB＞AC$.
【知识应用】
(3)如图④,在$\triangle ABC$中,$AD平分∠BAC交BC于点D$,$AB＞AC+CD$.求证:$∠C＞2∠B$.

答案：
1.解:
(1)思路一:小涛:
　作∠BAC的平分线AE,
∴∠DAE=∠CAE.
∵AB＞AC,
∴在AB上截取AD=AC,连结DE.
∵AE=AE,
∴△ADE≌△ACE(SAS).
∴∠ADE=∠ACB.
∵∠ADE＞∠B,
∴∠ACB＞∠B;
　思路二:小亮:
∵AB＞AC,
∴在AB边上截取AD=AC,连结CD.
∴∠ADC=∠ACD.
∵∠ADC＞∠B,
∴∠ACD＞∠B.
∵∠ACB＞∠ACD,
∴∠ACB＞∠B;
(2)证明:把AC沿∠BAC的平分线AE翻折,点C 落在直线AB上的点D处.
∴∠ADE=∠ACB.
∵∠ACB＞∠B,
∴∠ADE＞∠B,
∴点D在边AB上,且AD=AC,
∴AB＞AD.
∴AB＞AC;
(3)证明:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵AB＞AC+CD,
∴如图，在AB上截取AE=AC,连结DE.
∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADC(SAS).
∴∠AED=∠C.
∵AB＞AC+CD,
∴如图,在EB上截取BF=DF,连结DF.
∴∠FDB=∠B,
∴∠EFD=2∠B,
∵∠AED＞∠EFD,
∴∠AED＞2∠B,
∴∠C＞2∠B.