《2025年黄冈金牌之路练闯考八年级数学上册华师大版》

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$BD是\triangle ABC$的角平分线,$∠A= 2∠ADB$,若$AB= 9$,$CD= 4$,求$BC$的长。

答案：
解:在BC边上取一点E，使EB=AB=9，连结DE。
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBD。
又
∵AB=EB，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)。
∴∠ADB=∠BDE，∠A=∠BED。
∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=2∠ADB=∠A=∠BED。
∴∠CDE=∠CED。
∴CE=CD=4。
∴BC=BE+CE=9+4=13。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 2∠C$,$AD$,$BE$为两条角平分线,若$AB= 8$,$BD= 4$,求$\triangle ABE$的周长。

答案：
解:延长AB至点F，使得AF=AC，连结DF。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAD=∠CAD。
又
∵AF=AC，AD=AD，
∴△AFD≌△ACD(SAS)。
∴∠F=∠C。
又
∵∠ABC=2∠C，∠ABC=∠F+∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
∴BF=BD=4。
∴AC=AF=AB+BF=8+4=12。
又
∵∠ABC=2∠C，BE是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=∠C，
∴EB=EC。
∴C△ABE=AB+AE+BE=AB+AE+EC=AB+AC=8+12=20。

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠B= 2∠C$,$AD⊥BC于点D$,若$BD= 2$,$CD= 6$,求$AB$的长。(用两种不同的方法)
方法 1：

方法 2：

答案：
解:方法1:如图，在DC上取一点E，使DE=BD=2，则CE=CD - DE=6 - 2=4。
∵DE=BD，AD⊥BC，
∴AB=AE。
∴∠B=∠AEB。
又
∵∠B=2∠C，∠AEB=∠CAE+∠C，
∴∠C=∠CAE。
∴AB=AE=CE=4。

方法2:延长DB至点E，使BE=AB，连结AE，则∠E=∠BAE。
∴∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E。
又
∵∠ABC=2∠C，
∴∠E=∠C，
∴AE=AC。
又
∵AD⊥BC，
∴DE=CD=6。
∴AB=BE=DE - BD=6 - 2=4。