《2025年黄冈金牌之路练闯考八年级数学上册华师大版》

5. 在实数范围内分解因式:
(1) $x^{4} - 9$；
(2) $x^{2} - 2\sqrt{3}x + 3$；
(3) $x^{4} - 4x^{2} + 4$。

答案： 5.解:
(1)原式$=(x²+3)(x²-3)=(x²+3)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3});(2)$原式$=(x-\sqrt{3})²;(3)$原式$=(x²-2)²=(x+\sqrt{2})²(x-\sqrt{2})².$

6. 分解因式:
(1) $m^{2} - mn + mx - nx$；
(2) $x^{2} - 2x + 4y - 4y^{2}$；

答案： 6.解:
(1)原式=(m²-mn)+(mx-nx)=m(m-n)+x(m-n)=(m-n)(m+x);
(2)原式=(x²-4y²)+(-2x+4y)=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).

微专题 二次项系数为 1 的十字相乘法
整式乘法与因式分解是相反的变形,如整式乘法 $(x + p)(x + q) = x^{2} + (p + q)x + pq$,反过来为 $x^{2} + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)$,恰好是因式分解.
基于上述原理,将式子 $x^{2} - x - 6$ 分解因式.如下:
$x^{2} - x - 6$

一次项: $-x = x \cdot (-3) + x \cdot 2$
① 分解二次项和常数项;② 交叉相乘验一次项: $x × 2 + x × (-3) = -x$;③ 横向写出两因式的积: $x^{2} - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$.
根据以上信息分解因式:
- (1) $x^{2} - 3x + 2$；
- (2) $x^{2} + 7x - 18$；
- (3) $x^{2} + 2xy - 8y^{2}$。

答案： 解:
(1)原式=(x-1)(x-2);
(2)原式=(x+9)(x-2);
(3)原式=(x+4y)(x-2y).