《2025年黄冈金牌之路练闯考八年级数学上册华师大版》

4. 新考向 一题多问 如图,$ D $ 为等腰直角三角形 $ ABC $ 外的一点,连结 $ AD $,$ BD $,$ CD $。
(1)若 $\angle ADB = 45^{\circ}$,求证：$ BD \perp CD $；
(2)若 $\angle ADC = 135^{\circ}$,求证：$ BD \perp CD $。

答案： 证明:
(1)过点A作AE⊥AD,交BD于点E,则∠EAD=90°=∠BAC,
∴∠BAE=∠CAD.又
∵∠ADB=45°,
∴∠AED=90°−∠ADB=45°=∠ADB.
∴AE=AD、∠AEB=180°−∠AED=135°.又
∵AB=AC,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠ADC=∠AEB=135°.
∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=135°−45°=90°.
∴BD⊥CD;
(2)过点A作AF⊥AD,交CD的延长线于点F,则∠DAF=90°=∠BAC.
∴∠BAD=90°+∠CAD=∠CAF.
∵∠ADC=135°,
∴∠ADF=180°−∠ADC=45°,∠F=∠ADC−∠DAF=45°.
∴∠ADF=∠F,
∴AD=AF.又
∵AB=AC,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴∠ADB=∠F=45°.
∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=135°−45°=90°.
∴BD⊥CD.

5. (十堰中考改) 如图,$ D $ 为等边三角形 $ ABC $ 外的一点。若 $ BD = 8 $,$ CD = 6 $,连结 $ AD $,求 $ AD $ 的最大值与最小值的差。

答案： 解:如图,以AD为边作等边三角形ADE,连结CE.
∵△ABC,△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE.
∴∠BAD=∠CAE.
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴CE=BD=8.又
∵CE−CD≤DE≤CE+CD,
∴8−6≤DE≤8+6,即2≤DE≤14.
∴2≤AD≤14.
∴AD的最大值与最小值的差为14−2=12.

6. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$ AB = 8 $,$ P $ 是边 $ BC $ 上的一动点,连结 $ AP $,以 $ AP $ 为边作等边三角形 $ APQ $,连结 $ CQ $,求线段 $ CQ $ 长度的最小值。

答案： 解:在AB上截取AD=AC,连结CD,PD.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,AB=8,
∴∠BAC=90°−∠B=60°,AC=$\frac{1}{2}$AB=4.
∴AD=AC=4.又
∵△APQ是等边三角形,
∴AQ=AP,∠PAQ=60°=∠BAC.
∴∠CAQ=∠DAP.
∴△CAQ≌△DAP(SAS).
∴CQ=DP.而当DP⊥BC时，DP的长度最小,此时DP=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$(AB−AD)=$\frac{1}{2}$×(8−4)=2.
∴CQ长度的最小值为2.