《2025年黄冈金牌之路练闯考八年级数学上册华师大版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 2∠C$,$BD是∠ABC$的平分线,$AE⊥BD于点E$。求证：$AC= 2BE$。

答案：
证明:过点A作AF//BC，交BD的延长线于点F，则∠FAD=∠C，∠F=∠DBC。
∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠C。
∴∠ABD=∠F=∠FAD，BD=CD。
∴AB=AF，AD=DF。
∴AC=AD+CD=DF+BD=BF。
又
∵AE⊥BF，
∴BF=2BE，
∴AC=2BE。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,过$BC边上的一点D的直线EF交AB于点E$,交$AC的延长线于点F$,且$BE= CF$。求证：$DF= DE$。

答案：
证明:过点E作EG//AC交BC于点G，则∠ACB=∠BGE，∠F=∠DEG。
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB。
∴∠B=∠BGE。
∴BE=GE。
又
∵BE=CF，
∴GE=CF。
在△CDF和△GDE中，∠F=∠DEG，∠CDF=∠GDE，CF=GE，
∴△CDF≌△GDE(AAS)。
∴DF=DE。