《2025年黄冈金牌之路练闯考八年级数学上册华师大版》

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1. 公元前 5 世纪,毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数$\sqrt{2}$,导致了第一次数学危机. 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数,整数可以看作分母为 1 的有理数；反之为无理数. 如$\sqrt{2}$不能表示为两个互质的整数的商,所以$\sqrt{2}$是无理数. 可以这样证明：
假设$\sqrt{2}= \frac{a}{b}$,$a与b$是互质的两个整数,且$b≠0$,
由$\sqrt{2}$的意义知$2= \frac{a^{2}}{b^{2}}$,即$a^{2}= $①______.
因为$b$是整数且不为 0,且只有偶数的平方才是偶数,
所以$a$是不为 0 的偶数.
设$a = 2n$($n$是整数,且$n≠0$),则$a^{2}= 4n^{2}$.
所以$b^{2}= $②______.
所以$b$也是偶数,与$a$,$b$是互质的整数矛盾.
所以$\sqrt{2}$是无理数.
【解决问题】
(1)写出①,②表示的代数式,使证明过程完整；
(2)证明：$\sqrt[3]{6}$是无理数.
(1)①2b² ②2n²
(2)证明:设$\sqrt[3]{6}=\frac{a}{b}$,a与b是互质的两个整数,且b≠0,由$\sqrt[3]{6}$的意义知$6=\frac{a^{3}}{b^{3}}$,即$a^{3}=6b^{3}$,因为a,b是整数且不为0,所以a为不为0的6的倍数.设$a=6n$(n是整数,且n≠0),所以$a^{3}=216n^{3}$,所以$b^{3}=36n^{3}$,所以b也是6的倍数,与a与b是互质的整数矛盾,所以$\sqrt[3]{6}$是无理数.

答案： 1.解:
(1)①2b² ②2n²
(2)证明:设$\sqrt[3]{6}=\frac{a}{b}$,a与b是互质的两个整数,且b≠0,由$\sqrt[3]{6}$的意义知$6=\frac{a^{3}}{b^{3}}$,即$a^{3}=6b^{3}$,因为a,b是整数且不为0,所以a为不为0的6的倍数.设$a=6n$(n是整数,且n≠0),所以$a^{3}=216n^{3}$,所以$b^{3}=36n^{3}$,所以b也是6的倍数,与a与b是互质的整数矛盾,所以$\sqrt[3]{6}$是无理数.