《2025年黄冈金牌之路练闯考八年级数学上册华师大版》

——教材 P53 数学活动拓展
1. 对于一个图形,通过不同的方法计算其面积可得到一些数学等式.在整式乘法的学习中,我们常借助几何图形对等式进行直观解释.如图①是一个长为 4b,宽为 a 的长方形,沿图中虚线等分成 4 块小长方形.
(1)将其中两块小长方形置于一边长为 a 的正方形框内,摆放如图②所示.用两种不同的方法表示空白部分面积,可得到的数学等式为$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$；
(2)将四块小长方形拼成一个“回形”正方形,如图③所示.用两种不同的方法表示空白部分面积,可得到的数学等式为$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$；
(3)应用(2)中的结论解决下列问题：
①若 $ x + y = 12 $,$ xy = 27 $,求 $ x - y $ 的值；
②如图④,已知正方形 ABCD 的边长为 m,E,F 分别是 AB,AD 上的点,且 $ BE = 4 $,$ DF = 2 $,长方形 AEGF 的面积是 24,分别以 GE,GF 为边作正方形 GEMN 和正方形 GHOF,求阴影部分的面积.

(3)①$\because x+y=12,xy=27,$
$\therefore (x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=144-4×27=36.$
$\therefore x-y=\pm 6;$
②$\because$正方形$ABCD$的边长为$m$,$BE=4,DF=2,$
$\therefore$长方形$AEGF$的长$AF=m-2$,宽$AE=m-4.$
$\because$长方形$AEGF$面积是24,
$\therefore (m-2)(m-4)=24.$
设$a=m-2,b=m-4$,则$a-b=2,ab=24,$
$\because (a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$,即$4=(a+b)^{2}-4×24,$
$\therefore (a+b)^{2}=100.\therefore a+b=10$(取正值).
$\therefore S_{阴影部分}=S_{正方形EGNM}-S_{正方形OFGH}=(m-2)^{2}-(m-4)^{2}$
$=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=10×2=20.$
答:阴影部分的面积为20.

答案：
(1)$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
(2)$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$
(3)①$\because x+y=12,xy=27,$
$\therefore (x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=144-4×27=36.$
$\therefore x-y=\pm 6;$
②$\because$正方形$ABCD$的边长为$m$,$BE=4,DF=2,$
$\therefore$长方形$AEGF$的长$AF=m-2$,宽$AE=m-4.$
$\because$长方形$AEGF$面积是24,
$\therefore (m-2)(m-4)=24.$
设$a=m-2,b=m-4$,则$a-b=2,ab=24,$
$\because (a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$,即$4=(a+b)^{2}-4×24,$
$\therefore (a+b)^{2}=100.\therefore a+b=10$(取正值).
$\therefore S_{阴影部分}=S_{正方形EGNM}-S_{正方形OFGH}=(m-2)^{2}-(m-4)^{2}$
$=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=10×2=20.$
答:阴影部分的面积为20.