《2025年黄冈金牌之路练闯考八年级数学上册华师大版》

——教材 P42 阅读材料拓展
1. 新考向 阅读理解 阅读理解:我们知道$(a + b)^2$展开后等于$a^2 + 2ab + b^2$,我们同样可以利用多项式乘法法则将$(a + b)^3$展开.如果要进一步展开$(a + b)^4$,$(a + b)^5$,你一定发现解决上述问题需要大量的计算,是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将$(a + b)^n$($n$为非负整数)的每一项按字母$a$的次数由大到小排列,就可以得到下面的等式：

你能根据以上信息写出$(a + b)^4$,$(a + b)^5$的结果吗？
$(a + b)^4 = $$a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$；
$(a + b)^5 = $$a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$.
2. 阅读材料,解答下列问题：
【数学文化】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“贾宪三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则：两腰上的数都是 1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了$(a + b)^n$($n$为正整数)的展开式(按$a$的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在贾宪三角中,第三行的三个数($1$,$2$,$1$)恰好对应着两数和的平方$(a + b)^2$的展开式$a^2 + 2ab + b^2$的系数.类似的,通过计算可以发现：第四行的四个数($1$,$3$,$3$,$1$)恰好对应着两数和的立方$(a + b)^3$的展开式$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$的系数,等等.由此可见,贾宪三角可以看作是对两数和的平方公式的推广.
【问题解决】
(1)根据上面的规律,可得$(a + b)^5$的展开式中共有6项,其中$a^3b^2$项的系数为10；
(2)请结合图②中的展开式计算下面的式子：$(x + 2)^3 = $$x^{3}+6x^{2}+12x+8$；
(3)利用上面的规律计算：$(\frac{2}{3})^4 - 4×(\frac{2}{3})^3 + 6×(\frac{2}{3})^2 - 4×\frac{2}{3} + 1$.
因为$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4},$
所以原式$=(\frac{2}{3})^{4}+4×(\frac{2}{3})^{3}×(-1)+6×(\frac{2}{3})^{2}×(-1)^{2}+4×\frac{2}{3}×(-1)^{3}+(-1)^{4}=(\frac{2}{3}-1)^{4}=(-\frac{1}{3})^{4}=\frac{1}{81}.$

答案： 1.$a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$ $a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$ 2.
(1)6 10
(2)$x^{3}+6x^{2}+12x+8$
(3)因为$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4},$
∴原式$=(-\frac {2}{3})^{4}+4×(-\frac {2}{3})^{3}×1+6×(-\frac {2}{3})^{2}×1^{2}+4×(-\frac {2}{3})×1^{3}+1^{4}=(-\frac {2}{3}+1)^{4}=(\frac {1}{3})^{4}=\frac {1}{81}.$

2. 阅读材料,解答下列问题：
【数学文化】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“贾宪三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则：两腰上的数都是 1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了$(a + b)^n$($n$为正整数)的展开式(按$a$的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在贾宪三角中,第三行的三个数($1$,$2$,$1$)恰好对应着两数和的平方$(a + b)^2的展开式a^2 + 2ab + b^2$的系数.类似的,通过计算可以发现：第四行的四个数($1$,$3$,$3$,$1$)恰好对应着两数和的立方$(a + b)^3的展开式a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$的系数,等等.由此可见,贾宪三角可以看作是对两数和的平方公式的推广.

【问题解决】
(1)根据上面的规律,可得$(a + b)^5$的展开式中共有______项,其中$a^3b^2$项的系数为______；
(2)请结合图②中的展开式计算下面的式子：$(x + 2)^3 = $______；
(3)利用上面的规律计算：$(\frac{2}{3})^4 - 4×(\frac{2}{3})^3 + 6×(\frac{2}{3})^2 - 4×\frac{2}{3} + 1$.

答案： 2.
(1)6 10
(2)$x^{3}+6x^{2}+12x+8$
(3)因为$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4},$
∴原式$=(-\frac {2}{3})^{4}+4×(-\frac {2}{3})^{3}×1+6×(-\frac {2}{3})^{2}×1^{2}+4×(-\frac {2}{3})×1^{3}+1^{4}=(-\frac {2}{3}+1)^{4}=(\frac {1}{3})^{4}=\frac {1}{81}.$