《2025年黄冈金牌之路练闯考八年级数学上册华师大版》

1. 如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$AB = AD$,$AC = AE$,$\angle BAE = \angle CAD$。求证：$BC = DE$。

答案： 证明:
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE−∠CAE=∠CAD−∠CAE,即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
∴BC=DE.

2. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB // CD$,$\angle B = 90^{\circ}$,点$E在边BC$上,$BE = CD$,$AE = ED$。求证：$AE \perp DE$。

答案： 证明:
∵AB//CD,∠B=90°,
∴∠C=180°−∠B=90°,∠BAE+∠AEB=90°.在Rt△ABE和Rt△ECD中,AE=ED,BE=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△ECD(HL).
∴∠BAE=∠CED.
∴∠CED+∠AEB=90°.
∴∠AED=90°.
∴AE⊥DE.

3. 如图,$AD$,$BC相交于点O$,且$AC = BD$,$AD = BC$。求证：$\angle A = \angle B$。

答案： 证明:连结CD.在△ACD和△BDC中，AC=BD,CD=DC,AD=BC,
∴△ACD≌△BDC(SSS).
∴∠A=∠B.

4. (教材练习题变式)如图,点$A$,$E$,$F$,$B$在一条直线上,$AE = BF$,$\angle A = \angle B$,$\angle AFD = \angle BEC$。求证：$\angle C = \angle D$。

答案： 证明:
∵AE=BF,
∴AE+EF=BF+EF,即AF=BE.在△AFD和△BEC中,∠A=∠B,AF=BE,∠AFD=∠BEC,
∴△AFD≌△BEC(ASA).
∴∠C=∠D.

5. 新考向 条件开放 如图,$\triangle ABC的顶点A$,$B和\triangle DEF的顶点D$,$E$在一条直线上,且$\angle A = \angle EDF$,$\angle C = \angle F$,请再添加一个条件：AC=DF(答案不唯一),使得$BC = EF$,并给出证明。

答案： 解:答案不唯一.如:①AC=DF.证明:在△ABC和△DEF中,∠A=∠EDF,AC=DF,∠C=∠F,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∴BC=EF;②AB=DE.证明:在△ABC和△DEF中,∠A=∠EDF,∠C=∠F,AB=DE,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
∴BC=EF.