《2025年黄冈金牌之路练闯考八年级数学上册华师大版》

如图,已知点 $ B $,$ C $,$ D $ 在同一条直线上,$\triangle ABC$ 和 $\triangle ECD$ 都是等边三角形,$ BE $ 交 $ AC $ 于点 $ M $,$ AD $ 交 $ CE $ 于点 $ N $。
(1)求证：$\triangle ACD \cong \triangle BCE$；

(2)填空：由(1)知 $\triangle ACD \cong \triangle BCE$。
$\therefore \angle NAC= $∠MBC。
$\because \angle ACB= \angle ECD = 60^{\circ}$,
$\therefore \angle ACN= $60°。
在 $\triangle ACN$ 和 $\triangle BCM$ 中,$\left\{\begin{array}{l} \angle ACN= \angle BCM, \\ AC = BC, \\ \angle NAC= \angle MBC, \end{array} \right.$
$\therefore \triangle ACN \cong \triangle BCM$ (ASA)。$\therefore CN = CM$。
【变式】(同典例图)
若 $ AD $ 与 $ BE $ 相交于点 $ P $,连接 $ CP $,$ MN $。下列说法：① $ AD = BE $；② $\angle APB = 60^{\circ}$；③ $\triangle ACN \cong \triangle BCM$；④ $ MN // BD $；⑤ $\triangle CMN$ 为等边三角形；⑥ $ ME = DE $；⑦ $ PC $ 平分 $\angle BPD$。其中正确的有①②③④⑤⑦。

答案：
(1)证明:
∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°.
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(2)∠MBC 60° BCM AC BC ASA [变式]①②③④⑤⑦

1. 如图,$\triangle ACD$ 和 $\triangle BCE$ 都是等边三角形,且 $ AC = BC $,$\angle ACB = 90^{\circ}$,则 $\angle BED = $105°。

答案： 105°

2. 如图,$\triangle ABC$ 为等边三角形,$ D $ 是 $ BC $ 延长线上一点,连结 $ AD $,以 $ AD $ 为边作等边三角形 $ ADE $。连结 $ CE $。若 $ CE = 5 $,$ AC = 2 $,则 $ CD $ 的长为3。

答案： 3

3. 如图,$ CA = CB $,$ CD = CE $,$\angle ACB= \angle DCE= \alpha$,$ AD $,$ BE $ 相交于点 $ H $。
(1)求证：$ AD = BE $；
(2)连结 $ CH $,求证：$ HC $ 平分 $\angle AHE$；
(3)求 $\angle AHE$ 的度数。(用含 $\alpha$ 的式子表示)

答案：
(1)证明:
∵∠ACB=∠DCE=α,
∴∠ACD=∠BCE.又
∵CA=CB,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE;
(2)证明:过点C作CM⊥AD于点M,CN⊥BE于点N.
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAM=∠CBN.又
∵∠AMC=∠BNC=90°,AC=BC,
∴△ACM≌△BCN(AAS).
∴CM=CN.
∴HC平分∠AHE;
(3)设AD与BC相交于点P.
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE.
∵∠APC=∠BPH,
∴∠AHB=∠ACB=α.
∴∠AHE=180°−α.