《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

11.如图所示,有一个圆锥形粮堆,其正视图是边长为6m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食,此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路线长是多少?

答案：
解:$\because l=2π\cdot 3=\frac {nπ\cdot 6}{180},\therefore n=180$,
∴圆锥侧面展开图是一个半圆，如图所示, 　∠BAP=90°,AB=6,AP=3,由勾股定理得$BP=\sqrt {AB^{2}+AP^{2}}=3\sqrt {5}(m)$.
∴小猫所经过的最短路线长为$3\sqrt {5}m$.

12.如图,有一直径是1米的圆形铁皮,圆心为O,要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC,求：
(1)被剪掉阴影部分的面积；
(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥,该圆锥底面圆的半径是多少?

答案：
解:
(1)连接OA,OB. 　由∠BAC=120°,可知$AB=\frac {1}{2}$米，点O在扇形ABC的$\widehat {BC}$上.
∴扇形ABC的面积为$\frac {120}{360}π×(\frac {1}{2})^{2}=\frac {π}{12}$(平方米).
∴被剪掉阴影部分的面积为$π×(\frac {1}{2})^{2}-\frac {π}{12}=\frac {π}{6}$(平方米).
(2)由$2πr=\frac {120}{180}π×\frac {1}{2}$,得$r=\frac {1}{6}$.即圆锥底面圆的半径是$\frac {1}{6}$米.

13.(核心素养·应用意识)某种冰激凌的外包装可以视为圆锥,它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1:2,制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料,其中AB= AC,AD⊥BC,将扇形AEF围成圆锥时,AE,AF恰好重合.
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小.
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm,求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积.(结果保留π)

答案： 解:
(1)设∠BAC=n°.由题意得$π\cdot DE=\frac {nπ\cdot AD}{180},AD=2DE,\therefore n=90,\therefore ∠BAC=90^{\circ }$.
(2)$\because AD=2DE=10(cm),\therefore S_{阴}=\frac {1}{2}\cdot BC\cdot AD - S_{扇形AEF}=\frac {1}{2}×10×20-\frac {90π\cdot 10^{2}}{360}=(100 - 25π)cm^{2}.$