《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

10. 已知 $ y= (m+2)x^{m^{2}+m-4} $ 是关于 x 的二次函数,求：
(1)m 为何值时,抛物线有最高点？求出这个最高点,并说明这时抛物线的开口方向和增减性；
(2)m 为何值时,函数有最小值？最小值是多少？这时抛物线的开口方向、增减性如何？

答案：
(1)m = -3时，抛物线有最高点.此时y = -x²，最高点为(0,0)，抛物线的开口向下.当x ＜ 0时，y随x的增大而增大；当x ＞ 0时，y随x的增大而减小；
(2)m = 2时，函数有最小值.此时，y = 4x²，函数最小值为0，抛物线的开口向上.当x ＜ 0时，y随x的增大而减小；当x ＞ 0时，y随x的增大而增大.

11. 北中环桥是太原市的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连. 最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于 A,B 两点,拱高为78米(即最高点 O 到 AB 的距离为78米),跨径为90米(即 AB= 90米),以最高点 O 为坐标原点,以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系. 求此抛物线型钢拱的函数解析式？

答案： 解:根据题意，得所求抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，点B的坐标为(45,-78).
∴设函数解析式为y = ax²(a ≠ 0)，把(45,-78)代入得 -78 = a×45²，解得a = -$\frac{26}{675}$.
∴所求钢拱的函数解析式为:y = -$\frac{26}{675}$x².

12. (武威市十中期中)如图,已知二次函数 $ y= ax^{2}(a≠0) $ 与一次函数 $ y= kx-2 $ 的图象交于 A,B 两点,其中 A(-1,-1),求△OAB 的面积.

答案： 解:设直线AB交y轴于点G.
∵一次函数y = kx - 2的图象经过点A(-1,-1)，
∴ -1 = -k - 2，解得k = -1.
∴一次函数解析式为y = -x - 2.令x = 0，得y = -2.
∴G(0,-2).
∵抛物线y = ax²过点A(-1,-1)，
∴ -1 = a×1，解得a = -1.
∴二次函数解析式为y = -x².由一次函数与二次函数联立可得$\begin{cases}y = -x - 2\\y = -x²\end{cases}$，解得$\begin{cases}x₁ = -1\\y₁ = -1\end{cases}$，$\begin{cases}x₂ = 2\\y₂ = -4\end{cases}$.
∴B(2,-4).
∴S_△OAB = $\frac{1}{2}$OG·|x_A| + $\frac{1}{2}$OG·|x_B| = $\frac{1}{2}$×2×1 + $\frac{1}{2}$×2×2 = 1 + 2 = 3.