《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

1. 关于x的方程$x^{2}+\sqrt{2}x - 1= 0$的根的情况是 (A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

2. 下列一元二次方程中没有实数根是 (D)
A.$x^{2}+5x + 4= 0$
B.$x^{2}-4x + 4= 0$
C.$x^{2}-3x + 2= 0$
D.$x^{2}+2x + 3= 0$

答案： D

3. 定义新运算“a*b”：对于任意实数a,b,都有a*b= (a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如4*3= (4+3)(4-3)-1= 7-1= 6.若x*k= x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况为 (C)
A.有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根

答案： C

4. (宁夏自治区中考)关于x的一元二次方程$x^{2}-2x + m - 1= 0$有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 (D)
A.$m\geq2$
B.$m\leq2$
C.$m＞2$
D.$m＜2$

答案： D

5. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}-4x + 2= 0$有两个实数根,则a的取值范围是 (C)
A.$a\leq2$
B.$a＜2$
C.$a\leq2且a\neq0$
D.$a＜2且a\neq0$

答案： C

6. (武威市中考)关于x的方程$x^{2}-2x + k= 0$有两个相等的实数根,则k的值是1.

答案： 1

7. 定义:如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们称这两个方程为“好友方程”,如果关于x的一元二次方程$x^{2}-2x= 0与x^{2}+3x + m= 0$为“好友方程”,则m的值是0或-10.

答案： 0或-10

8. 定义新运算:对于任意实数a、b,都有$a\oplus b= a(a - b)+1$,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:$2\oplus5= 2(2 - 5)+1= 2×(-3)+1= -6 + 1= -5$.
(1)求$x\oplus(-4)= 6$,求x的值;
(2)若$3\oplus a$的值小于10,请判断方程:$2x^{2}-bx - a= 0$的根的情况.

答案： 解:
(1)
∵x⊕(-4)=6,
∴x[x-(-4)]+1=6,
∴x²+4x-5=0,解得:x=1或x=-5.
(2)
∵3⊕a＜10,
∴3(3-a)+1＜10,
∴10-3a＜10,
∴a＞0,
∴Δ=(-b)²+8a=b²+8a＞0.所以该方程有两个不相等的实数根.

9. (武威市四中月考)已知关于x的一元二次方程$(a + c)x^{2}-2bx + (a - c)= 0$,其中a,b,c分别为△ABC三边长.
(1)若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)若△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

答案： 解:
(1)△ABC是直角三角形.理由是:
∵关于x的一元二次方程(a+c)x²-2bx+(a-c)=0有两个相等的实数根,
∴Δ=0,即(-2b)²-4(a+c)(a-c)=0,
∴a²=b²+c²,
∴△ABC是直角三角形.
(2)
∵△ABC是等边三角形,
∴a=b=c,
∴方程(a+c)x²-2bx+(a-c)=0可整理为2ax²-2ax=0,
∴x²-x=0,解得:x₁=0,x₂=1.