《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

【易错易混】考虑问题不全而致错
6. (宝鸡市新建路中学期中)一副三角板如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜180°),使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直,则α的度数为$15^\circ$、$60^\circ$或$150^\circ$.

答案： $15^\circ$、$60^\circ$或$150^\circ$

7. (益阳市中考)如图,已知△ABC中,∠CAB= 20°,∠ABC= 30°,将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C',以下结论：①BC= B'C'；②AC//C'B'；③C'B'⊥BB'；④∠ABB'= ∠ACC',正确的有(B)

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

答案： B

8. 如图,在Rt△ABC中,∠A= 30°,∠ABC= 90°.将Rt△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△A'BC'.此时点C恰好在A'C'上,A'B交AC于点E,则△ABE与△ABC的面积之比为3:4.

答案： $3:4$

9. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠AOB= 60°,对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°＜α＜120°),所得的直线l分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)当旋转角α为多少度时,四边形AFCE为菱形？试说明理由.

答案： 证明:
(1)$\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore AD// BC$,$AO=CO$,$\therefore\angle AEO=\angle CFO$,在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中,$\begin{cases}\angle AEO=\angle CFO,\\\angle AOE=\angle COF,\\AO=CO,\end{cases}$$\therefore\triangle AOE\cong\triangle COF(\text{AAS})$.
(2)当$\alpha=90^\circ$时,四边形AFCE为菱形.理由:$\because\triangle AOE\cong\triangle COF$,$\therefore OE=OF$.又$\because AO=CO$,$\therefore$四边形AFCE为平行四边形.又$\because\angle AOE=90^\circ$,$\therefore$四边形AFCE为菱形.

10. (银川十八中单元卷)如图所示,正方形ABCD内一点P.若PA= 1,PB= 2,PC= 3,且△ABP绕点B顺时针旋转90°至△CBQ.
(1)连接PQ,求PQ的长；
(2)判断△PQC的形状；
(3)求∠APB的度数.

答案： 解:
(1)$\because\triangle ABP$旋转$90^\circ$至$\triangle CBQ$,$\therefore\triangle BPQ$为等腰直角三角形,$\therefore PQ=\sqrt{BP^2+BQ^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.
(2)$\because\triangle ABP$旋转至$\triangle CBQ$,$\therefore CQ=PA=1$,$\therefore$在$\triangle PQC$中,$PQ^2+QC^2=(2\sqrt{2})^2+1=9=PC^2$,$\therefore\triangle PQC$为直角三角形,且$\angle PQC=90^\circ$.
(3)$\because\triangle BPQ$为等腰直角三角形,$\therefore\angle BQP=45^\circ$,$\therefore\angle BQC=\angle BQP+\angle PQC=45^\circ+90^\circ=135^\circ$.$\therefore\angle APB=\angle BQC=135^\circ$.