《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

7.(固原一中单元卷)"国庆节"和"中秋节"双节期间,某微信群规定,群内的每个人都要发一个红包,并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包.若此次抢红包活动中,群内所有人共收到156个红包,则该群一共有13人.

答案： 【解析】：
设该群一共有$x$人，由于每个人都要发一个红包，并且其他人都能抢到，自己不能抢自己发的红包，所以每个人会收到$x-1$个红包（不包括自己发的那个）。
因此，所有人共收到的红包数为$x(x-1)$。
根据题意，我们可以得到方程：
$x(x-1) = 156$
展开方程得：
$x^2 - x - 156 = 0$
这是一个一元二次方程，通过求解这个方程，我们可以找到$x$的值。
接下来我们进行因式分解或者使用公式法求解。
这里使用求根公式：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其解为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
在本题中，$a=1,b=-1,c=-156$，
所以：
$x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4×1×(-156)}}{2×1}$
$=\frac{1\pm\sqrt{1+624}}{2}$
$=\frac{1\pm\sqrt{625}}{2}$
$=\frac{1\pm25}{2}$
所以$x_1=\frac{1+25}{2}=13,x_2=\frac{1-25}{2}=-12$（舍去），
所以这个群一共有13人。
【答案】：
13

8.某商品原来每件的售价为60元,经过两次降价后每件的售价为48.6元,并且每次降价的百分率相同.
(1)求该商品每次降价的百分率;
(2)若该商品每件的进价为40元,计划通过以上两次降价的方式,将库存的该商品20件全部售出,并且确保两次降价销售的总利润不少于200元,那么第一次降价至少售出多少件后,方可进行第二次降价?

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用。
(1)设该商品每次降价的百分率为$x$，根据题意，经过两次降价后的售价为$60(1-x)^{2}$，并且这个售价等于48.6元。
因此，我们可以列出方程：$60(1-x)^{2} = 48.6$，
展开方程得：$60(1 - 2x + x^{2}) = 48.6$，
进一步整理得：$60x^{2} - 120x + 11.4 = 0$，
解这个一元二次方程，我们得到两个$x_{1} = 0.1 = 10\%$，$x_{2} = 1.9$（由于降价百分率不可能超过$100\%$，所以$x_{2}$不符合实际情况，舍去）。
所以，该商品每次降价的百分率为$10\%$。
(2)设第一次降价售出$y$件，那么第一次降价后的单件利润为$60 × (1 - 10\%) - 40 = 14$元。
第一次降价后销售的总利润为$14y$元。
第二次降价售出的数量为$(20 - y)$件，第二次降价后的单件售价为$60 × (1 - 10\%)^{2} = 48.6$元，
所以第二次降价后的单件利润为$48.6 - 40 = 8.6$元。
第二次降价后销售的总利润为$8.6(20 - y)$元。
根据题意，两次降价销售的总利润不少于200元，
所以我们有不等式：$14y + 8.6(20 - y) \geq 200$，
解这个不等式，我们得到：$y \geq 5\frac{5}{27}$。
由于$y$必须是整数（不能卖出“部分”件商品），
所以$y$的最小整数值为6。
所以，第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价。
【答案】：
(1)该商品每次降价的百分率为$10\%$；
(2)第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价。

9.(平凉市四中月考)某工厂有甲、乙两个车间,甲车间生产A产品,乙车间生产B产品,去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出,已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元,1件A产品与1件B产品售价和为500元.
(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元?
(2)随着5G时代的到来,工业互联网进入了快速发展时期,今年,该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间,预计A产品产量在售价不变的情况下将在去年的基础上增加a%;B产品产量将在去年的基础上减少a%,但B产品的销售单价将提高3a%,则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加$\frac{29}{25}a\%$,求a的值.

答案： 【解析】：
(1)本题主要考察一元一次方程的应用，通过设立变量和方程来求解A、B两种产品的销售单价。
设B产品的销售单价为$x$元，则A产品的销售单价为$(x + 100)$元。
根据题意，A产品和B产品的售价和为500元，因此可以列出方程：
$x + (x + 100) = 500$，
解这个方程，得到B产品的销售单价，进而求得A产品的销售单价。
(2)本题主要考察一元二次方程的应用，通过设立变量和方程来求解$a$的值。
设去年每个车间生产的产品数量为$m$件。
根据题意，今年A产品的产量将在去年的基础上增加$a\%$，即产量为$m(1 + \frac{a}{100})$；
B产品的产量将在去年的基础上减少$a\%$，即产量为$m(1 - \frac{a}{100})$，但B产品的销售单价将提高$3a\%$，即单价为$x(1 + \frac{3a}{100})$（其中$x$为去年B产品的销售单价，已由第一问求出）。
今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加$\frac{29}{25}a\%$，根据这个条件可以列出方程：
$[x(1 + \frac{3a}{100}) \cdot m(1 - \frac{a}{100}) + (x + 100) \cdot m(1 + \frac{a}{100})] - (x + x + 100)m = \frac{29}{25} × \frac{a}{100} × (x + x + 100)m$，
将$x = 200$代入上式，并化简，得到一个关于$a$的一元二次方程，解这个方程即可求得$a$的值。
【答案】：
(1)解：设B产品的销售单价为$x$元，则A产品的销售单价为$(x + 100)$元。
由题意得：
$x + (x + 100) = 500$，
$2x + 100 = 500$，
$2x = 400$，
$x = 200$，
则$x + 100 = 300$。
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元。
(2)设去年每个车间生产的产品数量为$m$件。
根据题意，今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加$\frac{29}{25}a\%$，即：
$[200(1 + \frac{3a}{100}) \cdot m(1 - \frac{a}{100}) + 300 \cdot m(1 + \frac{a}{100})] - (200 + 300)m = \frac{29}{25} × \frac{a}{100} × (200 + 300)m$，
设$a\% = t$，代入上式并化简得：
$5t^{2} - t = 0$，
$t(5t - 1) = 0$，
解得：$t_{1} = \frac{1}{5}$，$t_{2} = 0$（舍去）。
所以$a = 20$。
答：$a$的值为20。