《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

8. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标系为(4,2). 若抛物线 $ y= -\frac{3}{2}(x-h)^{2}+k $(h,k为常数)与线段AB交于C,D两点,且 $ CD= \frac{1}{2}AB $,则k的值为$ \frac{7}{2} $.

答案： $ \frac{7}{2} $

9. 在平面直角坐标系内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当-3＜x＜3时,说明函数值y的增减情况；
(3)将抛物线怎样平移才能使它经过原点.

答案： 解:
(1)$ y=(x-1)^{2}-4 $.
(2)当 $ -3 ＜ x \leq 1 $ 时,y 随 x 的增大而减小,当 1$ ＜ x ＜ 3 $ 时,y 随 x 的增大而增大.
(3)方法不唯一,设抛物线沿 x 轴平移 m 个单位,则 $ y=(x-1+m)^{2}-4 $,把(0,0)代入式中,求得 $ m=3 $ 或 $ m=-1 $,即抛物线向左平移 3 个单位或向右平移 1 个单位可使它过原点,同理可求上、下平移的情况,抛物线向上平移 3 个单位可使它过原点.

10. (核心素养·应用意识)(天水市逸夫中学月考)如图是某公园一喷水池,在水中央有一垂直于地面的喷水柱,喷水时,水流在各方向沿形状相同的抛物线落下. 水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为 $ y= -(x-1)^{2}+2.25 $.
(1)求喷出的水流离地面的最大高度.
(2)求喷嘴离地面的高度.
(3)若把喷水池改成圆形,则水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流不落在水池外？

答案： 解:
(1)
∵水流喷出的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式为 $ y=-(x-1)^{2}+2.25 $,
∴喷出的水流离地面的最大高度为 2.25m.
(2)当 $ x=0 $ 时,$ y=-(0-1)^{2}+2.25=1.25 $.
∴喷嘴离地面的高度为 1.25m.
(3)令 $ y=0 $,即 $ 0=-(x-1)^{2}+2.25 $,解得 $ x_{1}=-0.5 $(舍去),$ x_{2}=2.5 $.
∴水池半径至少为 2.5m 时,才能使喷出的水流不落在水池外.