《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

1.二次函数$y= x^{2}+1$的图象大致是 (C)

答案： C

2.已知点$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})均在抛物线y= x^{2}-1$上,下列说法中正确的是 (D)
A.若$y_{1}= y_{2}$,则$x_{1}= x_{2}$
B.若$x_{1}= -x_{2}$,则$y_{1}= -y_{2}$
C.若$0＜x_{1}＜x_{2}$,则$y_{1}＞y_{2}$
D.若$x_{1}＜x_{2}＜0$,则$y_{1}＞y_{2}$

答案： 【解析】：
本题考查二次函数$y=ax²+k$的图象和性质。
对于选项A：若$y_{1}= y_{2}$，则根据二次函数$y=x^{2}-1$的性质，我们得到$x_{1}^{2}-1=x_{2}^{2}-1$，进一步推导得到$x_{1}^{2}=x_{2}^{2}$，所以$x_{1}=\pm x_{2}$，因此A选项错误。
对于选项B：若$x_{1}= -x_{2}$，则根据二次函数$y=x^{2}-1$的性质，我们得到$y_{1}=x_{1}^{2}-1$，$y_{2}=x_{2}^{2}-1=(-x_{1})^{2}-1=x_{1}^{2}-1$，所以$y_{1}=y_{2}$，因此B选项错误。
对于选项C：若$0＜x_{1}＜x_{2}$，根据二次函数$y=x^{2}-1$的性质，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，所以$y_{1}＜y_{2}$，因此C选项错误。
对于选项D：若$x_{1}＜x_{2}＜0$，根据二次函数$y=x^{2}-1$的性质，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，所以$y_{1}＞y_{2}$，因此D选项正确。
【答案】：
D

3.(成都市中考)二次函数$y= 2x^{2}-3$的图象是一条抛物线,它的开口向上,对称轴是直线$x=0$,与x轴有两个交点.

答案： 向上 $x=0$ 两

4.已知抛物线$y= ax^{2}+b过点(-2,-3)和点(1,6).$
(1)求这个函数的关系式；
(2)求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)当x为何值时,函数y随x的增大而减小?

答案： 解:
(1)依题意得$\left\{\begin{array}{l} 4a+b=-3,\\ a+b=6,\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l} a=-3,\\ b=9,\end{array}\right.$
∴$y=-3x^{2}+9$.
(2)顶点坐标为$(0,9)$,对称轴为y轴(或直线$x=0$).
(3)$\because a=-3＜0$,则抛物线开口向下,$\therefore$当$x＞0$時,y随xの增大而减小.

5.(湖州市中考)将抛物线$y= x^{2}$向上平移3个单位,所得抛物线的解析式是 (A)
A.$y= x^{2}+3$
B.$y= x^{2}-3$
C.$y= (x+3)^{2}$
D.$y= (x-3)^{2}$

答案： 【解析】：
题目要求将抛物线$y = x^{2}$向上平移3个单位，根据二次函数平移的性质，向上平移就是在原函数上加一个常数。因此，新的抛物线解析式应为原解析式$y = x^{2}$加上平移的单位3，即$y = x^{2} + 3$。
【答案】：
A.$y = x^{2} + 3$

6.若抛物线$y= ax^{2}+c与y= -3x^{2}$的形状相同,开口方向相反,且其顶点坐标是$(0,2)$,则该抛物线的函数解析式是$y = 3x^{2} + 2$.

答案： 【解析】：
首先，根据题目条件，抛物线$y = ax^{2} + c$与$y = -3x^{2}$的形状相同但开口方向相反。形状相同意味着$a$的绝对值应该与$-3$的绝对值相等，即$|a| = 3$。开口方向相反则意味着$a$应该是正数，因此$a = 3$。
其次，题目给出抛物线的顶点坐标是$(0, 2)$。对于一般形式的二次函数$y = ax^{2} + c$，其顶点坐标为$(0, c)$。因此，$c = 2$。
综合以上两点，我们可以写出抛物线的函数解析式：$y = 3x^{2} + 2$。
【答案】：
$y = 3x^{2} + 2$

7.对于二次函数$y= -2x^{2}+4$,当$-2＜x≤1$时,y的取值范围是$(-4,4]$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数$y=ax^2+k$的图象和性质。
首先，确定二次函数$y=-2x^2+4$的开口方向和顶点。
由于$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下。
顶点坐标为$(0,4)$，这是由二次函数的性质决定的，对于函数$y=ax^2+k$，其顶点坐标为$(0,k)$。
接下来，找到给定区间$[-2,1]$端点处的函数值。
当$x=-2$时，$y=-2×(-2)^2+4=-4$；
当$x=0$时（即顶点），$y=4$；
当$x=1$时，$y=-2×1^2+4=2$。
由于抛物线开口向下，所以在区间$[-2,1]$上，函数的最小值出现在$x=-2$处，即$y=-4$，而最大值出现在顶点处，即$y=4$。
但需要注意，$x=-2$是取不到的（题目中给出的是$-2＜x\leq1$），所以y的取值范围应排除-4，为$(-4,4]$。
【答案】：
$(-4,4]$

8.在同一直角坐标系中,一次函数$y= ax+c和二次函数y= ax^{2}+c$的图象大致为 (D)

答案： 解：1. 两函数常数项均为$c$，故都过点$(0,c)$，排除B、C。
2. 当$a＞0$时，二次函数开口向上，一次函数$y=ax+c$过一、三象限，A中二次函数开口向下，不符合；
3. 当$a＜0$时，二次函数开口向下，一次函数$y=ax+c$过二、四象限，D符合。
结论：D

9.已知$y= ax^{2}+k的图象上有三点A(-3,y_{1}),B(1,y_{2}),C(2,y_{3}),y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$,则a的取值范围是 (A)
A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$a≥0$
D.$a≤0$

答案： 解：二次函数$y = ax^2 + k$的对称轴为$y$轴（$x=0$）。
点$A(-3,y_1)$关于$y$轴的对称点为$(3,y_1)$。
点$B(1,y_2)$、$C(2,y_3)$、对称点$(3,y_1)$的横坐标均为正数，且$1 ＜ 2 ＜ 3$。
已知$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$，即当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大。
对于二次函数$y = ax^2 + k$，当$a ＞ 0$时，在$x ＞ 0$的范围内，$y$随$x$的增大而增大；当$a ＜ 0$时，在$x ＞ 0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小。
所以$a ＞ 0$。
答案：A

10.已知抛物线$y= x^{2}-k$的顶点为P,为x轴交于点A,B,且$\triangle ABP$是等腰直角三角形,则k的值是______1。

答案： 解：抛物线$y = x^2 - k$的顶点$P$的坐标为$(0, -k)$。
令$y = 0$，则$x^2 - k = 0$，解得$x = \pm\sqrt{k}$（$k ＞ 0$），所以点$A(-\sqrt{k}, 0)$，$B(\sqrt{k}, 0)$。
$AB$的长度为$2\sqrt{k}$，点$P$到$x$轴的距离为$|-k| = k$。
因为$\triangle ABP$是等腰直角三角形，所以$AB$边上的高等于$AB$长度的一半，即$k = \frac{1}{2} × 2\sqrt{k}$，化简得$k = \sqrt{k}$，两边平方得$k^2 = k$，解得$k = 1$或$k = 0$（舍去）。
故$k$的值是$1$。