《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

11. 已知$\triangle ABC$的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0$的两个实数根,第三边BC的长为5.求当k为何值时,$\triangle ABC$是以BC为斜边的直角三角形?

答案： 解：$\because\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形，$BC=5$，$\therefore AB^{2}+AC^{2}=25$，又$\because AB$，$AC$是方程的两个实数根，则$AB+AC=2k+3$，$AB\cdot AC=k^{2}+3k+2$，$\therefore AB^{2}+AC^{2}=(AB+AC)^{2}-2AB\cdot AC$，即$(2k+3)^{2}-2(k^{2}+3k+2)=25$，解得$k=2$或$k=-5$（不合题意，舍去）．$\therefore$当$k=2$时，$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形．

12.(银川英才学校月考)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-6x+2m-1=0$有$x_{1},x_{2}$两实数根.
(1)若$x_{1}=1$,求$x_{2}$及m的值;
(2)是否存在实数m,满足$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\frac {6}{m-5}$?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.

答案： 解：
(1)根据题意得$\Delta=(-6)^{2}-4(2m-1)\geq0$，解得$m\leq5$，$x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=2m-1$，$\because x_{1}=1$，$\therefore1+x_{2}=6$，$x_{2}=2m-1$，$\therefore x_{2}=5$，$m=3$．
(2)存在．$\because(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\frac{6}{m-5}$，$\therefore x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\frac{6}{m-5}$，即$2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$，整理得$m^{2}-8m+12=0$，解得$m_{1}=2$，$m_{2}=6$，经检验$m_{1}=2$，$m_{2}=6$为原方程的解，$\because m\leq5$且$m\neq5$，$\therefore m=2$．

1. 已知$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-x-2022=0$的两个实数根,则代数式$x_{1}^{3}-2022x_{1}+x_{2}^{2}$的值是（A）
A.4045
B.4044
C.2022
D.1

答案： A

2. 如果已知方程$x^{2}-3x+1=0$的两个根分别为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}$的值是3.

答案： 3

3. 已知方程$3x^{2}-5x+1=0$的两根分别为α,β,则$3\alpha ^{2}-6\alpha -\beta +\alpha \beta =$$-\frac{7}{3}$.

答案： $-\frac{7}{3}$

4.(鄂州市中考)若实数a、b分别满足$a^{2}-4a+3=0,b^{2}-4b+3=0$,且$a≠b$,则$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}$的值为$\frac{4}{3}$.

答案： $\frac{4}{3}$