《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

1.(银川市外国语学校模拟)如图,AB为⊙O的直径,过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE//AD交CD于点E,连接BE.
(1)直线BE与⊙O相切吗?并说明理由;
(2)若CA= 2,CD= 4,求DE的长.

答案：
1. 解:
(1)直线BE与⊙O相切.理由:连接OD,
∵CD与⊙O相切于点D,
∴∠ODE=90°.
∵AD//OE,
∴∠ADO=∠DOE,∠DAO=∠EOB.
∵OD =OA,
∴∠ADO=∠DAO,
∴∠DOE=∠BOE.
∵OD=OB,OE=OE,
∴△DOE ≌△BOE(SAS).
∴∠OBE=∠ODE=90°.
∵OB是⊙O的半径,
∴直线BE与⊙O相切.
(2)设⊙O的半径为r,在Rt△ODC中,OD²+DC²=OC²,
∴r²+4²=(r+2)².
∴r=3,
∴AB=2r=6.
∴BC=AC+AB=2+6=8.由
(1),得△DOE ≌△BOE,
∴DE=BE.在Rt△BCE中,BC²+BE²=CE²,
∴8²+BE²=(4+DE)².
∴64+DE²=(4+DE)².
∴DE=6.

2.(中卫二中模拟)如图,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,BD平分∠ABC,以点D为圆心,DA为半径的⊙D与AC相交于点E.
(1)求证:BC是⊙D的切线;
(2)若AB= 5,BC= 13,求CE的长.

答案：
2.
(1)证明:过点D作DF⊥BC于点F.
∵∠BAD=90°,BD平分∠ABC,
∴AD=DF.
∵AD是⊙D的半径，
∴DF是⊙D的半径,
∴BC是⊙D的切线.
(2)解:在Rt△ADB和Rt△FDB中,{BD=BD,AD=FD},
∴Rt△ADB≌Rt△FDB(HL),
∴AB=BF=5.
∵BC=13,
∴CF=8.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=√(13² - 5²)=12.在Rt△DFC中,设DF=DE=r,则r²+8²=(12 - r)²,解得r=10/3,
∴CE=AC - 2r=16/3.