《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

12. 试用配方法说明$2x^{2}-4x+5$的值不小于3.

答案： 证明:$2x^{2}-4x+5=2\left(x^{2}-2x+\dfrac{5}{2}\right)=2(x-1)^{2}+3$.$\because$无论$x$取何值,$(x-1)^{2}\geqslant 0$,$\therefore 2(x-2)^{2}+3\geqslant 3$.即$2x^{2}-4x+5$的值不小于 3.

13. 已知：a是不等式$5(a-2)+8＜6(a-1)+7$的最小整数解,请用配方法解关于x的方程$x^{2}+2ax+a+1= 0$.

答案： 解:解不等式$5(a-2)+8＜6(a-1)+7$,得$a＞-3$,$\therefore$最小整数解为$-2$,将$a=-2$代入方程$x^{2}+2ax+a+1=0$,得$x^{2}-4x-1=0$,配方,得$(x-2)^{2}=5$.直接开平方,得$x-2=\pm \sqrt{5}$.解得$x_{1}=2+\sqrt{5},x_{2}=2-\sqrt{5}$.

14.(银川外国语学校月考)要用一根长20厘米的铁丝,折成一个面积为16平方厘米的矩形方框,应该怎样折呢？

答案： 解:设折成的矩形方框的长为$x$厘米,则宽为$(10-x)$厘米,由题意得:$x(10-x)=16$,$x^{2}-10x=-16$,$x^{2}-10x+\left(\dfrac{10}{2}\right)^{2}=-16+\left(\dfrac{10}{2}\right)^{2}$,$(x-5)^{2}=9$,$x-5=\pm 3$,$x_{1}=8,x_{2}=2$,所以矩形方框的长为 8 厘米,宽为 2 厘米.故应折一边长为 2 厘米,另一边长为 8 厘米的矩形.

微专题2
配方法的应用
(宝鸡市一中月考)“$a^{2}\geq0$”这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式,例如：$x^{2}+4x+5= x^{2}+4x+4+1= (x+2)^{2}+1$,$\because (x+2)^{2}\geq0$,$\therefore (x+2)^{2}+1\geq1$,$\therefore x^{2}+4x+5\geq1$,即$x^{2}+4x+5$的最小值是1. 试利用“配方法”求代数式$x^{2}-4x+6$的最小值.

答案： 解：
$x^{2}-4x + 6=x^{2}-4x + 4 + 2=(x - 2)^{2}+2$，
因为$(x - 2)^{2}\geq0$，
所以$(x - 2)^{2}+2\geq2$，
所以$x^{2}-4x + 6\geq2$，
即$x^{2}-4x + 6$的最小值是$2$。

变式1 已知$x^{2}-4x+y^{2}+2y+5= 0$,求$x+y$的值.

答案： 解:$x^{2}-4x+y^{2}+2y+5=0$,$x^{2}-4x+4+y^{2}+2y+1=0$,$(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=0$,则$x-2=0$,$y+1=0$,解得$x=2$,$y=-1$,则$x+y=2-1=1$.

变式2 比较代数式$x^{2}-1与2x-3$的大小.

答案： 解:$x^{2}-1-(2x-3)=x^{2}-2x+1+1=(x-1)^{2}+1$,$\because (x-1)^{2}\geqslant 0$,$\therefore (x-1)^{2}+1＞0$,$\therefore x^{2}-1＞2x-3$.