《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 45^{\circ }$,以 AB 为直径的$\odot O$交 BC 于点 D,交AC 于点 E.
(1)求$\angle EBC$的度数;
(2)求证:$BD= CD$.

答案：

(1)解:
∵AB=AC,
∴∠ABC =∠C,
∴∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=$\frac{1}{2}$(180°−45°)=67.5°.
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°=∠EBC+∠C,
∴∠EBC=90°−67.5°=22.5°.　　
(2)证明:连接AD
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD =CD.

12.(银川市第十八中学月考)如图,在$\triangle ABC$中,$AC= BC$,D 是 AB 上一点,$\odot O$经过点A,C,D,交 BC 于点 E,过点 D 作$DF// BC$,交$\odot O$于点 F,连接 CF,AF.求证:
(1)四边形 DBCF 是平行四边形;
(2)$AF= EF$.

答案：

(1)
∵AC=BC,
∴∠BAC=∠B,
∵DF//BC,
∴∠ADF=∠B.
∵∠BAC=∠CFD,
∴∠ADF=∠CFD,
∴BD//CF.
∵DF//BC,
∴四边形DBCF是平行四边形.　　
(2)连接AE.
∵∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF,
∴∠AEF=∠B.
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形,
∴∠ECF+∠EAF=180°.
∵BD//CF,
∴∠ECF+∠B=180°,
∴∠EAF=∠B,
∴∠AEF=∠EAF,
∴AF=EF.

13.(核心素养·直观想象)(西安市铁一中模拟)如图,以 AB 为直径的$\odot O经过\triangle ABC$的顶点 C,AE,BE 分别平分$\angle BAC和\angle ABC$,AE 的延长线交$\odot O$于点 D,连接BD.
(1)判断$\triangle BDE$的形状,并证明你的结论;
(2)若$AB= 10$,$BE= 2\sqrt {10}$,求 BC 的长.

答案：

(1)△BDE为等腰直角三角形.证明:
∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠DBC+∠CBE,
∴∠BED=∠DBE.
∴BD=ED.
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴△BDE是等腰直角三角形.另解:计算∠AEB=135°也可以得证.
(2)连接OC、CD、OD,OD交BC于点F.
∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD,
∴BD=DC.
∵OB=OC,
∴OD垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形,BE=$2\sqrt{10}$,
∴BD=$2\sqrt{5}$.
∵AB=10,
∴OB=OD=5.设OF=t,则DF=5−t.在Rt△BOF和Rt△BDF中,$5^{2}-t^{2}=(2\sqrt{5})^{2}-(5-t)^{2}$,解得t=3.
∴BF=4,
∴BC=8.