《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

9. 如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为$(8,5)$,$\odot A$与x轴相切,点P在y轴正半轴上,PB与$\odot A$相切于点B,若$\angle APB= 30^\circ$,则点P的坐标为______(0,11).

答案： (0,11)

10. (宁波市中考)如图,在$\triangle ABC$中,$AC= 2$,$BC= 4$,点O在BC上,以OB为半径的圆与AC相切于点A,D是BC边上的动点,当$\triangle ACD$为直角三角形时,AD的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{6}{5}$.

答案： $\frac{3}{2}$或$\frac{6}{5}$

11. 如图,$\triangle ABC是\odot O$的内接三角形,AC是$\odot O$的直径,点D是$\widehat{BC}$的中点,$DE// BC$交AC延长线于点E.
(1)求证:直线DE与$\odot O$相切;
(2)若$\odot O$的直径是10,$\angle A= 45^\circ$,求CE的长.

答案：

(1)证明:连接OD,
∵点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点,
∴OD⊥BC,
∵DE//BC,
∴OD⊥DE,
∵OD是⊙O的半径,
∴直线DE与⊙O相切.
(2)解:
∵AC是⊙O的直径,
∴∠B = 90°,
∵∠A=45°,
∴∠ACB=45°,
∵BC//DE,
∴∠E = 45°,而∠ODE=90°,
∴△ODE为等腰直角三角形,
∴OE=$\sqrt{2}$OD = 5$\sqrt{2}$,
∴CE=OE - OC=5$\sqrt{2}$-5.

12. (核心素养·空间观念)(银川英才学校模拟)已知$\triangle ABC内接于\odot O$,过点A作直线EF.
(1)如图①,若AB为$\odot O$的直径,要使EF成为$\odot O$的切线,还需要添加的一个条件是(至少说出两种):______或者______;
(2)如图②,如果AB是不过圆心O的弦,且$\angle CAE= \angle B$,那么EF是$\odot O$的切线吗?试证明你的判断.

答案：

(1)①∠BAE=90° ②∠EAC=∠ABC 解析:①
∵∠BAE = 90°,
∴AE⊥AB,
∵AB是直径,
∴EF是⊙O的切线.②
∵AB是直径,
∴∠ACB = 90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°,
∵∠EAC=∠ABC,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC = 90°.即AE⊥AB,
∵AB是直径,
∴EF是⊙O的切线.
(2)EF是⊙O的切线.证明:作直径AM,连接CM, 则∠ACM = 90°,∠M=∠B,
∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM = 90°,
∵∠CAE=∠B,
∴∠CAM+∠CAE=90°,
∴AE⊥AM,
∵AM为直径,
∴EF是⊙O的切线.