《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

1.下列方程可用直接开平方法求解的是(A)
A.$x^{2}= 4$
B.$4x^{2}-4x-3= 0$
C.$x^{2}-3x= 0$
D.$x^{2}-2x-1= 9$

答案： 解：直接开平方法适用于形如$x^2 = a(a\geq0)$或$(x + m)^2 = n(n\geq0)$的方程。
A. $x^2 = 4$，符合$x^2 = a(a\geq0)$的形式，可用直接开平方法求解。
B. $4x^2 - 4x - 3 = 0$，需先化为一般形式再选择解法，不符合直接开平方法的形式。
C. $x^2 - 3x = 0$，可提公因式求解，不符合直接开平方法的形式。
D. $x^2 - 2x - 1 = 9$，整理得$x^2 - 2x - 10 = 0$，不符合直接开平方法的形式。
答案：A

2.对于方程$x^{2}= p$：
(1)当$p＞0$时,方程有两个不相等的实数根,$x_{1}= $$\sqrt{p}$,$x_{2}= $$-\sqrt{p}$；
(2)当$p= 0$时,方程有两个相等的实数根,$x_{1}= x_{2}= $0；
(3)当$p＜0$时,方程没有实数根.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法，特别是利用直接开平方法来解形如$x^{2}= p$的方程。
(1) 当$p＞0$时，方程$x^{2}= p$可以开平方得到两个实数根，一个正根和一个负根，分别为$\sqrt{p}$和$-\sqrt{p}$。
(2) 当$p= 0$时，方程$x^{2}= 0$只有一个实数根，即$x=0$，此时两个根相等。
(3) 当$p＜0$时，由于平方数不能为负数，所以方程$x^{2}= p$没有实数根。
【答案】：
(1) 当$p＞0$时，方程有两个不相等的实数根，$x_{1}= \sqrt{p}$，$x_{2}= -\sqrt{p}$；
(2) 当$p= 0$时，方程有两个相等的实数根，$x_{1}= x_{2}= 0$；
(3) 当$p＜0$时，方程没有实数根。

3.完成下面的解题过程：
解方程：$2x^{2}-8= 0$.
解：原方程化成$x^{2}=4$.
开平方,得$x=\pm 2$.
则$x_{1}= $$2$,$x_{2}= $$-2$.

答案： 【解析】：
本题考查的是利用直接开平方法解一元二次方程。
首先，需要将原方程$2x^{2} - 8 = 0$进行化简，得到$x^{2}$的系数化为1的形式。
然后，对方程进行开平方操作，得到$x$的解。
具体步骤如下：
1. 将原方程$2x^{2} - 8 = 0$移项，得到$2x^{2} = 8$。
2. 将方程两边同时除以2，得到$x^{2} = 4$。
3. 对方程$x^{2} = 4$进行开平方，得到$x = \pm 2$。
【答案】：
解：原方程化成$x^{2} = 4$。
开平方，得$x = \pm 2$。
则$x_{1} = 2$，$x_{2} = -2$。

4.解下列方程.
(1)$9x^{2}= 25$；
(2)$4.3-6x^{2}= 2.8$.

答案： 【解析】：
本题考查的是利用直接开平方法解一元二次方程。对于形如$x^2=a$（$a\geq0$）的方程，可以直接开平方得到$x=\pm\sqrt{a}$。
(1) 对于方程 $9x^2 = 25$，可以先将方程两边同时除以9，得到 $x^2 = \frac{25}{9}$，然后直接开平方得到解。
(2) 对于方程 $4.3 - 6x^2 = 2.8$，需要先将方程转化为 $x^2 = a$ 的形式，即先移项得到 $6x^2 = 1.5$，再将方程两边同时除以6，得到 $x^2 = 0.25$，然后直接开平方得到解。
【答案】：
(1) 解：$9x^2 = 25$
$x^2 = \frac{25}{9}$
$x = \pm \sqrt{\frac{25}{9}}$
$x = \pm \frac{5}{3}$
所以，$x_1 = \frac{5}{3}$，$x_2 = -\frac{5}{3}$。
(2) 解：$4.3 - 6x^2 = 2.8$
$6x^2 = 1.5$
$x^2 = 0.25$
$x = \pm \sqrt{0.25}$
$x = \pm 0.5$
所以，$x_1 = 0.5$，$x_2 = -0.5$。

5.一元二次方程$(x+6)^{2}= 16$可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是$x+6= 4$,则另一个一元一次方程是 (D)
A.$x-6= -4$
B.$x-6= 4$
C.$x+6= 4$
D.$x+6= -4$

答案： 【解析】：
本题考查的是利用直接开平方法解一元二次方程。
给定方程为 $(x+6)^{2} = 16$，根据平方根的性质，可以得到两个一元一次方程。
已知其中一个方程是 $x+6 = 4$，那么另一个方程应该是 $x+6$ 等于 16 的另一个平方根，即 $x+6 = -4$。
这是因为一个数的平方等于另一个数时，这个数可以是正数也可以是负数。
【答案】：
D. $x+6 = -4$

6.若方程$(x-2)^{2}= a-15$可用平方根的定义求解,则$a$的取值范围是$a \geq 15$.

答案： 【解析】：
本题主要考察利用平方根的定义求解一元二次方程的条件，即方程中的表达式需要满足非负性，因为平方数总是非负的。
给定方程为 $(x-2)^{2} = a - 15$，根据平方根的定义，我们知道 $a - 15$ 必须是非负的，以便方程有实数解。
因此，我们设置不等式 $a - 15 \geq 0$，
解这个不等式，我们得到 $a \geq 15$。
【答案】：
$a \geq 15$

7.解方程：$(2-x)^{2}-9= 0$.
解：移项,得$(2 - x)^{2} = 9$.
直接开平方,得$2 - x = \pm 3$.
即$2 - x = 3$或$2 - x = -3$.
所以$x_{1}= $$-1$,$x_{2}= $$5$.

答案： 【解析】：
本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程的知识点。
首先，我们需要将方程$(2-x)^{2}-9= 0$进行移项，使等式右边为常数项。
然后，对方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程。
最后，分别求解这两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个解。
【答案】：
解：移项，得$(2 - x)^{2} = 9$。
直接开平方，得$2 - x = \pm 3$。
即$2 - x = 3$或$2 - x = -3$。
所以$x_{1} = -1$，$x_{2} = 5$。

8.用直接开平方法解下列方程.
(1)$3(x+1)^{2}= \frac{1}{3}$；
(2)$y^{2}-4y+4= 9$.

答案： 【解析】：
本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程的知识点。
对于形如$ax^2 = b$（$a \neq 0$）的方程，我们可以直接对方程两边同时开平方来求解。
对于形如$(x+h)^2 = b$的方程，我们可以先移项，然后对方程两边同时开平方来求解。
(1) 解：
首先，我们将方程$3(x+1)^{2}= \frac{1}{3}$两边同时除以3，得到：
$(x+1)^{2} = \frac{1}{9}$
然后，对方程两边同时开平方，得到：
$x+1 = \pm \frac{1}{3}$
最后，将方程拆分为两个一元一次方程进行求解，得到：
$x_1 = - \frac{2}{3}$，$x_2 = - \frac{4}{3}$
(2) 解：
首先，我们将方程$y^{2}-4y+4= 9$进行配方，得到：
$(y-2)^{2} = 9$
然后，对方程两边同时开平方，得到：
$y-2 = \pm 3$
最后，将方程拆分为两个一元一次方程进行求解，得到：
$y_1 = 5$，$y_2 = -1$
【答案】：
(1)$x_1 = - \frac{2}{3}$，$x_2 = - \frac{4}{3}$
(2)$y_1 = 5$，$y_2 = -1$