《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

11. (核心素养·几何直观)如图,抛物线$y= x^{2}+bx+c$经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).
(1)求此抛物线的解析式；
(2)写出顶点坐标及对称轴；
(3)若抛物线上有一点B,且$S_{\triangle OAB}= 3$,求点B的坐标.

答案： 【解析】：
(1)要求抛物线的解析式，已知抛物线经过坐标原点$(0,0)$和点$A(2,0)$，将这两个点代入抛物线的一般式$y = x^2 + bx + c$，可以得到一个关于$b$和$c$的二元一次方程组，解这个方程组即可得到$b$和$c$的值，从而确定抛物线的解析式。
(2)对于抛物线$y = ax^2 + bx + c$，其顶点坐标可以通过公式$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$求得，对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}$。在本题中，$a = 1$，$b$和$c$已在
(1)中求出，代入公式即可得到顶点坐标和对称轴。
(3)已知点$A$的坐标和三角形$OAB$的面积，可以求出点$B$的纵坐标的绝对值。然后设点$B$的坐标为$(x, y)$，将$y$的值代入抛物线的解析式，解出$x$的值，即可得到点$B$的坐标。
【答案】：
解：
(1)因为抛物线$y = x^2 + bx + c$经过坐标原点，所以$c = 0$。
又因为抛物线经过点$A(2,0)$，代入得$4 + 2b = 0$，解得$b = -2$。
所以，此抛物线的解析式为$y = x^2 - 2x$。
(2)对于抛物线$y = x^2 - 2x$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}) = (1, -1)$，对称轴为直线$x = 1$。
(3)设点$B$的坐标为$(x, y)$。
因为$S_{\bigtriangleup OAB} = 3$，且$OA = 2$，所以$\frac{1}{2} × 2 × |y| = 3$，解得$|y| = 3$，即$y = \pm 3$。
当$y = 3$时，代入$y = x^2 - 2x$，得$x^2 - 2x - 3 = 0$，解得$x = 3$或$x = -1$。
当$y = -3$时，代入$y = x^2 - 2x$，得$x^2 - 2x + 3 = 0$，此方程无实数解。
所以，点$B$的坐标为$(3, 3)$或$(-1, 3)$。

【例】已知$A(-4,y_{1}),B(1,y_{2})$两点都在二次函数$y= -3(x+1)^{2}+2$的图象上,求$y_{1}$与$y_{2}$的大小关系.
方法1(代入法):把$A(-4,y_{1}),B(1,y_{2})$分别代入$y= -3(x+1)^{2}+2$中,得$y_{1}=$-25, $y_{2}=$-10, $\therefore y_{1}$＜$y_{2}$；
方法2(增减性法):∵二次函数的对称轴为直线x=-1,∴点B关于对称轴对称的点为(-3, $y_{2}$).∵抛物线开口向下,∴在对称轴的左侧,y随x的增大而增大.又∵$-4＜$-3,∴$y_{1}$＜$y_{2}$.
方法3(距离比较法):∵抛物线开口向下,且对称轴是直线x=-1,∴抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值就越小.又∵点$A(-4,y_{1})$到对称轴的距离比点$B(1,y_{2})$到对称轴的距离远(填“近”或“远”),∴$y_{1}$＜$y_{2}$.

答案： 【例】-25　-10　＜　x=-1　-3　下　增大　-3　＜　下　x=-1　小　远　＜　

【对应训练】
1. 已知$(-3,y_{1}),(-2,y_{2}),(1,y_{3})是抛物线y= -3x^{2}-12x+m$上的点,则( )
A.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
B.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
C.$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$
D.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$

答案： 【对应训练】1.B　

2. (陕西省中考)已知二次函数$y= x^{2}-2x-3的自变量x_{1},x_{2},x_{3}对应的函数值分别为y_{1},y_{2},y_{3}$.当$-1＜x_{1}＜0,1＜x_{2}＜2,x_{3}＞3$时,$y_{1},y_{2},y_{3}$三者之间 的大小关系是( )
A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$
C.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$

答案： 2.D