《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

11.如图,抛物线$y= ax^{2}+c与直线y= 3$相交于点A,B,与y轴相交于点$C(0,-1)$,其中点A的横坐标为-4.
(1)求出a,c的值.
(2)求出抛物线$y= ax^{2}+c$与x轴的交点坐标.

答案： 【解析】：
(1)要求出抛物线的参数a和c，需要利用已知的点C的坐标和抛物线与直线$y=3$的交点。
已知点$C(0, -1)$在抛物线上，所以可以将$x=0$，$y=-1$代入抛物线方程$y = ax^2 + c$，得到第一个方程。
抛物线与直线$y=3$相交于点A，B，且点A的横坐标为-4，所以可以将$x=-4$，$y=3$代入抛物线方程，得到第二个方程。
联立这两个方程，可以解出a和c的值。
(2)要求出抛物线与x轴的交点，需要令$y=0$，然后解出x的值。
将$y=0$代入抛物线方程，得到一个关于x的二次方程。
利用求根公式或者因式分解等方法，可以解出x的值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标。
【答案】：
(1)解：
由题意，点$C(0, -1)$在抛物线上，代入$y = ax^2 + c$得：
$-1 = a × 0^2 + c$，
即 $c = -1$。
又因为抛物线与直线$y=3$相交于点A，且点A的横坐标为-4，代入$y = ax^2 + c$得：
$3 = a × (-4)^2 + c$，
即 $3 = 16a - 1$（因为已经知道$c=-1$），
解得 $a = \frac{1}{4}$。
所以，$a = \frac{1}{4}$，$c = -1$。
(2)解：
由
(1)知，抛物线方程为$y = \frac{1}{4}x^2 - 1$。
令$y=0$，得：
$\frac{1}{4}x^2 - 1 = 0$，
即 $x^2 = 4$，
解得 $x = \pm 2$。
所以，抛物线与x轴的交点坐标为$(-2, 0)$和$(2, 0)$。

12.(银川市模拟)已知,如图,直线AB经过点$B(0,6)$,点$A(4,0)$,与抛物线$y= ax^{2}+2$在第一象限内相交于点P,又知$\triangle AOP$的面积为6.
(1)求a的值；
(2)若将抛物线$y= ax^{2}+2$沿y轴向下平移,则平移多少个单位长度才能使得平移后的抛物线经过点A?

答案： 【解析】：本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的平移。
(1)求$a$的值
已知点$A(4,0)$，$\triangle AOP$的面积为$6$，
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2} × 底 × 高$，
这里$OA$为底边，$P$点纵坐标的绝对值为高，
$OA = 4$，$S_{\triangle AOP} = 6$，
则$P$点纵坐标为：$y_{P}=\frac{2S_{\triangle AOP}}{OA}=\frac{2× 6}{4}=3$。
因为点$P$在直线$AB$上，设直线$AB$的解析式为$y = kx + b$，
把$A(4,0)$，$B(0,6)$代入可得：
$\begin{cases}b = 6,\\0 = 4k + 6.\end{cases}$
解得$k=-\frac{3}{2}$，
所以直线$AB$的解析式为$y = -\frac{3}{2}x + 6$。
当$y = 3$时，$3=-\frac{3}{2}x + 6$，
解得$x = 2$，
所以$P(2,3)$。
把$P(2,3)$代入抛物线$y = ax^{2}+2$，
得$3 = a×2^{2}+2$，
即$4a+2 = 3$，
$4a=1$，
解得$a=\frac{1}{4}$。
(2)求平移的单位长度
由
(1)知抛物线的解析式为$y=\frac{1}{4}x^{2}+2$。
设平移后的抛物线解析式为$y=\frac{1}{4}x^{2}+2 - m$（$m$为平移的单位长度）。
因为平移后的抛物线经过点$A(4,0)$，
把$A(4,0)$代入$y=\frac{1}{4}x^{2}+2 - m$得：
$0=\frac{1}{4}×4^{2}+2 - m$，
$0 = 4 + 2 - m$，
$m = 6$。
【答案】：
(1)$a=\frac{1}{4}$；
(2)$6$。

13.(核心素养·应用意识)(延安新区第一中学模拟)如图,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为8m,宽AB为2m.以BC所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O的距离为6m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆货运卡车高4.2m、宽2.4m.这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论.

答案：
(1)解：由题意得，抛物线顶点E的坐标为(0,6)，设抛物线解析式为$y = ax^2 + 6$。
因为矩形BC长为8m，所以点B(-4,0)，点C(4,0)，又因为AB=2m，所以点A(-4,2)，点D(4,2)，且点A、D在抛物线上。
把点A(-4,2)代入$y = ax^2 + 6$，得$2 = a×(-4)^2 + 6$，即$16a + 6 = 2$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
所以抛物线解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2 + 6$。
(2)解：货运卡车宽2.4m，双行道则卡车在隧道中间行驶时，最外侧距离y轴的距离为$2.4÷2 = 1.2m$，即当$x = 1.2$时，计算抛物线的纵坐标。
把$x = 1.2$代入$y=-\frac{1}{4}x^2 + 6$，得$y=-\frac{1}{4}×(1.2)^2 + 6=-\frac{1}{4}×1.44 + 6=-0.36 + 6 = 5.64m$。
因为$5.64m＞4.2m$，所以这辆货运卡车能通过该隧道。
答：这辆货运卡车能通过该隧道。