《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

1. 小兰画了一个函数$y= x^{2}+ax+b$的图象如图所示,则关于$x的方程x^{2}+ax+b= 0$的解是(D)
A.无实数解

B.$x= -1$
C.$x= 4$
D.$x_{1}= -1,x_{2}= 4$

答案： D

2. 如表是一组二次函数$y= x^{2}-x-3$的自变量和函数值的关系,那么方程$x^{2}-x-3= 0$的一个近似根可能是(B)
A.1.2
B.2.3
C.3.4
D.4.5

答案： B

3.(宁夏自治区中考)若二次函数$y= x^{2}-2x+m的图象与x$轴有两个交点,则$m$的取值范围是______$m ＜ 1$.

答案： 解：二次函数$y = x^2 - 2x + m$的图象与$x$轴有两个交点，即一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个不相等的实数根。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根。
在方程$x^2 - 2x + m = 0$中，$a = 1$，$b = -2$，$c = m$，则$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × m = 4 - 4m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta ＞ 0$，即$4 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ 1$。
故$m$的取值范围是$m ＜ 1$。

4. 已知二次函数$y= x^{2}+mx+m^{2}-3$($m$为常数,$m＞0$)的图象经过点$P(2,4)$.
(1)求$m$的值；
(2)判断二次函数$y= x^{2}+mx+m^{2}-3的图象与x$轴交点的个数,并说明理由.

答案： 【解析】：
(1) 由于二次函数$y = x^{2} + mx + m^{2} - 3$的图象经过点$P(2,4)$，
我们可以将点$P$的坐标代入二次函数表达式中，即：
$4 = 2^{2} + 2m + m^{2} - 3$
$4 = 4 + 2m + m^{2} - 3$
$m^{2} + 2m - 3 = 0$
这是一个关于$m$的一元二次方程，通过求解这个方程，我们可以得到$m$的值。
(2) 二次函数$y = x^{2} + mx + m^{2} - 3$与$x$轴交点的个数，即为一元二次方程$x^{2} + mx + m^{2} - 3 = 0$的实数根的个数。
这可以通过判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$来判断，其中$a = 1, b = m, c = m^{2} - 3$。
【答案】：
(1) 解：
代入点$P(2,4)$到二次函数$y = x^{2} + mx + m^{2} - 3$中，得：
$4 = 4 + 2m + m^{2} - 3$
$m^{2} + 2m - 3 = 0$
$(m - 1)(m + 3) = 0$
由于$m ＞ 0$，所以$m = 1$（舍去$m = -3$）。
(2) 解：
对于二次函数$y = x^{2} + x - 2$（已求出$m=1$），其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 × 1 × (-2) = 1 + 8 = 9$
由于$\Delta ＞ 0$，所以一元二次方程$x^{2} + x - 2 = 0$有两个不相等的实数根，
即二次函数$y = x^{2} + x - 2$的图象与$x$轴有两个交点。

5. 二次函数$y= x^{2}-x-2$的图象如图所示,则函数值$y＜0$时,$x$的取值范围是(C)
A.$x＜-1$
B.$x＞2$
C.$-1＜x＜2$
D.$x＜-1或x＞2$

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，以及如何通过二次函数的图象来确定函数值小于$0$时$x$的取值范围。
首先，我们找到二次函数$y = x^{2} - x - 2$与$x$轴的交点，即解方程$x^{2} - x - 2 = 0$。
这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或者使用求根公式来解。
这里我们选择因式分解，得到$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 2$。
这两个解就是二次函数与$x$轴的交点的横坐标。
接着，我们观察二次函数的图象。
由于二次函数的图象是一个开口向上的抛物线（因为二次项系数$a=1＞0$），
所以在两个交点之间，函数值会小于$0$。
换句话说，当$-1 ＜ x ＜ 2$时，$y ＜ 0$。
最后，我们根据这个结论来选择答案。
对比选项，我们发现只有选项C：$-1＜x＜2$符合我们的结论。
【答案】：C

6. 如图,已知抛物线$y_{1}= x^{2}+bx+c与直线y_{2}= kx+m相交于A(-2,3)$,$B(3,-1)$两点,则$y_{1}\geq y_{2}$时,$x$的取值范围是$x\leq - 2$或$x\geq 3$.

答案： 【解析】：本题可根据抛物线与直线的交点坐标，结合函数图象的性质来确定$y_{1}\geq y_{2}$时$x$的取值范围。
已知抛物线$y_{1}=x^{2}+bx + c$与直线$y_{2}=kx + m$相交于$A(-2,3)$，$B(3,-1)$两点。
$y_{1}\geq y_{2}$表示抛物线的图象在直线的图象上方（包括交点），从图象上看，就是抛物线在直线上方部分对应的$x$的取值范围。
观察图象可知，当$x\leq - 2$或$x\geq 3$时，抛物线$y_{1}$的图象在直线$y_{2}$的图象上方。
所以$y_{1}\geq y_{2}$时，$x$的取值范围是$x\leq - 2$或$x\geq 3$。
【答案】：$x\leq - 2$或$x\geq 3$

7. 已知抛物线$y= ax^{2}-3x+1与x$轴有交点,则$a$的取值范围是$a \leq \frac{9}{4}$且$a \neq 0$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数与一元二次方程的关系，特别是抛物线与$x$轴交点即二次方程有实根的条件。
首先，抛物线$y = ax^2 - 3x + 1$与$x$轴有交点，意味着存在至少一个$x$值使得$y=0$，即方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$有实根。
根据一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta \geq 0$时，方程有实根。
将$a$, $b$, $c$分别代入$a$, $-3$, $1$，得到$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = 9 - 4a$。
要求方程有实根，即需要$\Delta \geq 0$，解得$9 - 4a \geq 0$，进一步解得$a \leq \frac{9}{4}$。
另外，由于$a$是二次项系数，不能为0，所以$a \neq 0$。
综合以上两个条件，得到$a$的取值范围是$a \leq \frac{9}{4}$且$a \neq 0$。
【答案】：
$a \leq \frac{9}{4}$且$a \neq 0$。

8. 二次函数$y= (x-a)(x-b)-2(a＜b)与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n$,且$m＜n$,下列结论正确的是(C)
A.$m＜a＜n＜b$
B.$a＜m＜b＜n$
C.$m＜a＜b＜n$
D.$a＜m＜n＜b$

答案： 解：令 $ y = (x - a)(x - b) $，该函数与 $ x $ 轴交于点 $ (a, 0) $ 和 $ (b, 0) $，且抛物线开口向上。
二次函数 $ y = (x - a)(x - b) - 2 $ 是由 $ y = (x - a)(x - b) $ 向下平移 2 个单位得到的，抛物线开口方向不变。
原函数 $ y = (x - a)(x - b) $ 在 $ x = a $ 和 $ x = b $ 处函数值为 0，向下平移后，在 $ x = a $ 和 $ x = b $ 处的函数值变为 $ -2 $（小于 0）。
因为抛物线开口向上，所以新函数与 $ x $ 轴的两个交点 $ (m, 0) $ 和 $ (n, 0) $ 分别位于 $ a $ 的左侧和 $ b $ 的右侧，即 $ m ＜ a ＜ b ＜ n $。
答案：C

9. 关于抛物线$y= ax^{2}-2x+1(a≠0)$,给出下列结论：
①当$a＜0$时,抛物线与直线$y= 2x+2$没有交点；
②若抛物线与$x$轴有两个交点,则其中一定有一个交点在点$(0,0)与(1,0)$之间；
③若抛物线的顶点在点$(0,0)$,$(2,0)$,$(0,2)$围成的三角形区域内(包括边界),则$a\geq1$,其中正确结论的序号是______③.

答案： 解：①联立方程得$ax^{2}-2x+1=2x+2$，即$ax^{2}-4x-1=0$，判别式$\Delta=16+4a$，当$a=-5$时，$\Delta=16-20=-4＜0$，但当$a=-3$时，$\Delta=16-12=4＞0$，故①错误；
②抛物线与$x$轴有两个交点，则$\Delta=4-4a＞0$，$a＜1$且$a≠0$，当$a=2$时，方程$2x^{2}-2x+1=0$无实根，当$a=-1$时，方程$-x^{2}-2x+1=0$的根为$x=-1\pm\sqrt{2}$，均不在$(0,0)$与$(1,0)$之间，故②错误；
③抛物线顶点坐标为$(\frac{1}{a},1-\frac{1}{a})$，顶点在三角形区域内，可得$\begin{cases}0\leq\frac{1}{a}\leq2\\0\leq1-\frac{1}{a}\leq2\end{cases}$，解得$a\geq1$，故③正确。
正确结论的序号是③。