《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

9.用直接开平方法解一元二次方程：$4(2x-1)^{2}-25(x+1)^{2}= 0$.
小明的解答如下：
解：移项,得$4(2x-1)^{2}= 25(x+1)^{2}$,①
直接开平方,得$2(2x-1)= 5(x+1)$,②
所以$x= -7$.③
小明的解答有无错误？若有,错在第②步,原因是$\sqrt{a^{2}}= $$|a|$,写出正确的解答过程.
正确的解答过程如下：
移项，得：
$4(2x-1)^{2} = 25(x+1)^{2}$
直接开平方，得：
$2(2x-1) = \pm 5(x+1)$
分两种情况考虑：
当$2(2x-1) = 5(x+1)$时，
解得：
$x = -7$
当$2(2x-1) = -5(x+1)$时，
移项并合并同类项，得：
$4x - 2 = -5x - 5$
$9x = -3$
解得：
$x = -\frac{1}{3}$
所以，方程的解为$x = -7$或$x = -\frac{1}{3}$.

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的解法，特别是直接开平方法。
小明在开平方时忽略了平方根的重要性质，即一个数的平方根包括正负两个值。
因此，他在第②步直接开平方时犯了错误，没有考虑到负的平方根。
正确的做法是在开平方时同时考虑正负两种情况，即：
$2(2x-1) = \pm 5(x+1)$
然后分别解这两个一元一次方程。
【答案】：
小明的解答有错误，错在第②步，原因是$\sqrt{a^{2}} = |a|$，一个数的平方根包括正负两个值。
正确的解答过程如下：
移项，得：
$4(2x-1)^{2} = 25(x+1)^{2}$
直接开平方，得：
$2(2x-1) = \pm 5(x+1)$
分两种情况考虑：
当$2(2x-1) = 5(x+1)$时，
解得：
$x = -7$
当$2(2x-1) = -5(x+1)$时，
移项并合并同类项，得：
$4x - 2 = -5x - 5$
$9x = -3$
解得：
$x = -\frac{1}{3}$
所以，方程的解为$x = -7$或$x = -\frac{1}{3}$。

10.若关于$x的方程m(x+h)^{2}+k= 0$($m,h,k$均为常数,$m\neq0$)的解是$x_{1}= -3$,$x_{2}= 2$,则方程$m(x+h-3)^{2}+k= 0$的解是(B)
A.$x_{1}= -6$,$x_{2}= -1$
B.$x_{1}= 0$,$x_{2}= 5$
C.$x_{1}= -3$,$x_{2}= 5$
D.$x_{1}= -6$,$x_{2}= 2$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的平移变换以及解方程的能力。
首先，我们已知方程 $m(x+h)^{2}+k= 0$ 的解为 $x_{1}= -3$ 和 $x_{2}= 2$。
接着，考虑方程 $m(x+h-3)^{2}+k= 0$，这个方程可以看作是原方程沿x轴向右平移3个单位得到的。
根据平移性质，如果原方程的解是 $x_{1}$ 和 $x_{2}$，那么平移后的方程的解应为 $x_{1}+3$ 和 $x_{2}+3$。
因此，新方程的解为 $x_{1} = -3 + 3 = 0$ 和 $x_{2} = 2 + 3 = 5$。
【答案】：
B. $x_{1}= 0$，$x_{2}= 5$。

11.若一元二次方程$ax^{2}= b(ab＞0)的两个根分别是m+2与2m-5$,则$\frac{b}{a}= $9.

答案： 【解析】：
本题考查了一元二次方程的解与系数的关系。
首先，我们将原方程$ax^{2} = b$转化为标准形式，
即$x^{2} = \frac{b}{a}$。
由于$ab ＞ 0$，
所以$\frac{b}{a} ＞ 0$，
因此方程有两个实数解，且互为相反数。
根据题目，这两个解分别是$m + 2$和$2m - 5$。
由于一元二次方程$x^{2} = \frac{b}{a}$，
的两个解互为相反数，
所以有$m + 2 + 2m - 5 = 0$，
解这个方程得到$m = 1$。
将$m = 1$，代入$m + 2$和$2m - 5$，
得到两个解分别是$3$和$-3$。
由于这两个解是方程$x^{2} = \frac{b}{a}$，
的解所以有$x^{2} = 9$，
即$\frac{b}{a} = 9$。
【答案】：
9

12.(银川市十八中月考)定义：若$a+b= 2$,则称$a与b$是关于1的平衡数.
(1)$4-x$与$x - 2$是关于1的平衡数.(用含$x$的代数式表示)
(2)若$(x-1)^{2}$关于1的平衡数是-7,求$x$的值.
$x = 4$ 或 $x = -2$

答案： 【解析】：
本题主要考查了平衡数的定义以及一元二次方程的解法。
(1) 根据平衡数的定义，有 $a + b = 2$。
题目给出 $a = 4 - x$，需要求出一个代数式 $b$，使得 $a + b = 2$。
设 $b$ 为我们要找的代数式，则有：
$4 - x + b = 2$，
解这个方程，得到：
$b = 2 - 4 + x = x - 2$，
所以，$4 - x$ 与 $x - 2$ 是关于1的平衡数。
(2) 题目给出 $(x - 1)^{2}$ 关于1的平衡数是 -7，根据平衡数的定义，有：
$(x - 1)^{2} + (-7) = 2$，
整理这个方程，得到：
$(x - 1)^{2} = 9$，
接下来，对方程两边同时开平方，得到：
$x - 1 = \pm 3$，
分别解这两个一元一次方程，得到：
$x_1 = 1 + 3 = 4$，
$x_2 = 1 - 3 = -2$，
所以，$x$ 的值为 4 或 -2。
【答案】：
(1) $x - 2$；
(2) $x = 4$ 或 $x = -2$。

13.(核心素养·几何直观)如图,将长和宽分别是$a,b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x$的正方形.
(1)用$a,b,x$表示纸片剩余部分的面积；
(2)当$a= 6$,$b= 4$,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用，通过矩形面积公式列出方程，并求解得到正方形的边长。
（1）首先，矩形的面积为$ab$。
四个角都剪去一个边长为$x$的正方形，所以剪去的总面积为$4x^{2}$。
因此，纸片剩余部分的面积为：矩形面积 - 剪去的面积 = $ab - 4x^{2}$。
（2）根据题意，剪去部分的面积等于剩余部分的面积，即：
$4x^{2} = ab - 4x^{2}$，
将$a = 6$，$b = 4$代入上式，得：
$4x^{2} = 6 × 4 - 4x^{2}$，
移项并合并同类项，得：
$8x^{2} = 24$，
进一步化简，得：
$x^{2} = 3$，
解得：$x = \pm \sqrt{3}$，
由于边长不能为负，所以负值舍去，即$x = \sqrt{3}$。
【答案】：
(1)$(ab - 4x^{2})$；
(2)$\sqrt{3}$。