《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

8.(无锡市中考)某水果店出售一种水果,每箱定价58元时,每周可卖出300箱,试销发现：每箱水果每降价1元,每周可多卖出25箱；每涨价1元,每周将少卖出10箱. 已知每箱水果的进价为35元,每周每箱水果的平均损耗费为3元.
(1) 若不进行价格调整,这种水果的每周销售利润为多少元？
(2) 根据以上信息,你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？

答案： 解:
(1)
∵58 - 35 - 3 = 20,20×300 = 6000(元),
∴若不进行价格调整,这种水果每周销售利润为 6000 元.
(2)若每箱水果降价 x 元,这种水果的每周销售利润为 y 元,根据题意得:y = (58 - 35 - 3 - x)(300 + 25x) = -25(x - 4)² + 6400,由二次函数性质可知,当 x = 4 时,y 的最大值为 6400 元;若每箱水果涨价 x'元,这种水果的每周销售利润为 y'元,根据题意得:y' = (58 - 35 - 3 + x')(300 - 10x') = -10(x' - 5)² + 6250,由二次函数性质可知,当 x' = 5 时,y'的最大值为 6250 元,综上所述,当每箱水果定价为 54 元时,这种水果的每周销售利润最大为 6400 元.

9.(核心素养·应用意识)(银川市景博学校期中)红星公司销售一种成本为40元/件的产品,若月销量单价不高于50元/件,一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元,月销售量就减少0.1万件,其中月销售单价不低于成本,设月销售单价为x(单位：元/件),月销售量为y(单位：万件).
(1) 直接写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(2) 当月销售单价是多少元时,月销售利润最大,最大利润是多少万元？
(3) 为响应国家“乡村振兴”政策,该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元,已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件,月销售最大利润是78万元,求a的值.

答案： 解:
(1)由题知,①当 40≤x≤50 时,y = 5,②当 50 ＜ x≤100 时,y = 5 - (x - 50)×0.1 = 10 - 0.1x,
∴y 与 x 之间的函数关系式为:y = {5(40≤x≤50),10 - 0.1x(50 ＜ x≤100),
(2)设月销售利润为 z,由题知,①当 40≤x≤50 时,x = 50 时利润最大,此时 z = (50 - 40)×5 = 50(万元),②当 50 ＜ x≤100 时,z = (x - 40)y = (x - 40)(10 - 0.1x) = -0.1x² + 14x - 400 = -0.1(x - 70)² + 90,
∴当 x = 70 时,z 有最大值为 90 万元,即当月销售单价是 70 元时,月销售利润最大,最大利润是 90 万元.
(3)由题知,利润 z = (x - 40 - a)(10 - 0.1x) = -0.1x² + (14 + 0.1a)x - 400 - 10a,此函数的对称轴为:直线 x = -(14 + 0.1a)/(2×(-0.1)) = 70 + 0.5a ＞ 70,
∴当月销售单价是 70 元时,月销售利润最大,即(70 - 40 - a)×(10 - 0.1×70) = 78,解得 a = 4,
∴a 的值为 4.