《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

1.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有100台电脑被感染,请你用学过的知识分析:每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
解:设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,则经过第一轮后共有(1+x)台电脑被感染,第二轮后共有(1+x)²台电脑被感染.
根据题意列方程,得(1+x)²=100
解方程,得x₁=9，x₂=-11（舍去）.
答:每轮感染中平均一台电脑会感染9台电脑.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用。
首先，我们设每轮感染中平均一台电脑会感染$x$台电脑。
第一轮感染：
初始有1台电脑被感染，经过第一轮感染后，新增被感染的电脑数为$x$，所以第一轮感染后共有$(1+x)$台电脑被感染。
第二轮感染：
这$(1+x)$台电脑在第二轮感染中，每台又会感染$x$台其他电脑。
所以第二轮新增的被感染电脑数为$(1+x) × x$。
因此，第二轮感染后共有$(1+x) + (1+x) × x = (1+x)^{2}$台电脑被感染。
根据题意列方程：
根据题目，两轮感染后共有100台电脑被感染，所以我们有方程：
$(1+x)^{2} = 100$
解方程：
对方程$(1+x)^{2} = 100$进行求解，我们得到两个解：
$x_{1} = 9, \quad x_{2} = -11$
由于电脑数量不能为负，且在此问题中$x$表示每台电脑平均感染的其他电脑数量，所以$x$必须为正数。
因此，我们舍去$x_{2} = -11$，只保留$x_{1} = 9$。
答：每轮感染中平均一台电脑会感染9台电脑。
【答案】：
第一轮后共有$(1+x)$台电脑被感染；
第二轮后共有$(1+x)^{2}$台电脑被感染；
根据题意列方程，得$(1+x)^{2} = 100$；
解方程，得$x_{1} = 9, x_{2} = -11$（舍去）；
答：每轮感染中平均一台电脑会感染9台电脑。

2.有一人利用手机发短信,获得信息的人也按他的发送人数发送该条信息,经过两轮短信的发送,共有90人手机上获得同一条信息,则每轮发送短信平均一个人向多少个人发送信息?

答案： 解：设每轮发送短信平均一个人向$x$个人发送信息。
第一轮发送后，获得信息的人数为$x$人；第二轮发送时，这$x$个人每人又向$x$个人发送信息，所以第二轮新增获得信息的人数为$x\cdot x = x^{2}$人。
根据经过两轮发送共有90人获得信息，可列方程：$1 + x + x^{2}=90$
整理得：$x^{2}+x - 89 = 0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，这里$a = 1$，$b = 1$，$c=-89$
$\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4×1×(-89)=1 + 356=357$
$x=\frac{-1\pm\sqrt{357}}{2}$
因为人数不能为负数，所以$x=\frac{-1+\sqrt{357}}{2}\approx\frac{-1 + 18.89}{2}\approx8.94$，由于人数必须为整数，且题目中隐含人数为正整数，经检验$x = 9$时，$1+9+9^{2}=1 + 9+81=91$，$x = 8$时，$1+8+8^{2}=1 + 8 + 64=73$，均不符合90人。
（注：原方程列法有误，正确应为：设每轮发送短信平均一个人向$x$个人发送信息，第一轮后有$x$人获得信息，第二轮这$x$人每人发$x$人，所以第二轮新增$x^{2}$人，总人数为第一轮的$x$人加上第二轮新增的$x^{2}$人等于90人，即$x + x^{2}=90$）
重新列方程：$x^{2}+x - 90=0$
因式分解得：$(x + 10)(x - 9)=0$
解得$x_{1}=9$，$x_{2}=-10$（不合题意，舍去）
答：每轮发送短信平均一个人向9个人发送信息。

3.为解决群众看病难的问题,一种药品连续两次降价,平均每次降价的百分率为x.已知这种药品原来每盒的价格是60元,则第一次降价后每盒的价格是60(1-x)元,第二次降价后每盒的价格是60(1-x)²元.若经过两次降价后这种药品每盒的价格是48.6元,则可列出方程:60(1-x)²=48.6.

答案： 【解析】：
本题主要考察的是一元二次方程的应用，特别是平均变化率问题。
首先，我们需要理解平均降价百分率的定义。
如果某药品原价为$P$元，平均降价百分率为$x$，
那么降价后的价格就是原价格乘以$(1-x)$。
对于连续两次降价，第一次降价后的价格就是原价乘以$(1-x)$，
第二次降价后的价格则是第一次降价后的价格再乘以$(1-x)$。
根据题目，药品原价为60元，平均每次降价的百分率为$x$。
因此，第一次降价后的价格可以表示为$60(1-x)$元。
第二次降价后的价格则是第一次降价后的价格再乘以$(1-x)$，
即$60(1-x)(1-x)=60(1-x)^{2}$元。
题目还给出，经过两次降价后，药品的价格是48.6元。
因此，我们可以根据这个信息列出一个一元二次方程来求解$x$。
方程为：$60(1-x)^{2} = 48.6$。
【答案】：
第一次降价后每盒的价格是$60(1-x)$元；
第二次降价后每盒的价格是$60(1-x)^{2}$元；
若经过两次降价后这种药品每盒的价格是$48.6$元,
则可列出方程:$60(1-x)^{2} = 48.6$。

4."杂交水稻之父"——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标,第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标.
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的平均增长率;
(2)按照(1)中亩产量增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200千克,请通过计算说明他们的目标能否实现.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的应用，特别是关于平均增长率的问题。
(1) 设亩产量的平均增长率为 $x$，则第二阶段亩产量可以表示为 $700(1+x)$，第三阶段亩产量可以表示为 $700(1+x)^2$。
根据题意，第三阶段亩产量为1008千克，因此可以建立方程 $700(1+x)^2 = 1008$。
解这个方程，我们可以得到 $x$ 的值，即亩产量的平均增长率。
(2) 根据第一问中求得的 $x$，我们可以计算第四阶段的预期亩产量，即 $1008(1+x)$。
然后，将这个预期亩产量与1200千克进行比较，以判断科研团队的目标能否实现。
【答案】：
(1) 设亩产量的平均增长率为 $x$，
根据题意，我们有方程：
$700(1+x)^2 = 1008$，
展开并整理得：
$700(1 + 2x + x^2) = 1008$，
$700 + 1400x + 700x^2 = 1008$，
$700x^2 + 1400x - 308 = 0$，
$x^2 + 2x - 0.44 = 0$，
解这个方程，我们得到两个解，其中一个解为 $x_1 = 0.2$，另一个解由于不符合实际情况（增长率为负）而被舍去。
因此，亩产量的平均增长率为 $20\%$。
(2) 根据第一问中求得的 $x = 0.2$，我们可以计算第四阶段的预期亩产量：
$1008 × (1 + 0.2) = 1209.6 \text{(千克]}$，
由于 $1209.6 ＞ 1200$，
所以，科研团队的目标可以实现。

5.某市为扶持绿色农业发展,今年4月投入的扶持基金为3600万元,按计划第二季度的总投入要达到12000万元,设该市5,6两个月投入的月平均增长率为x,根据题意列出方程为:$3600 + 3600(1 + x) + 3600(1 + x)^{2} = 12000$.

答案： 【解析】：
这是一个平均变化率问题，需要利用增长率的公式来建立方程。
设该市5，6两个月投入的月平均增长率为$x$，则5月的投入为$3600(1 + x)$万元，6月的投入为$3600(1 + x)^{2}$万元。
根据题意，第二季度的总投入要达到12000万元，因此需要将4月、5月、6月的投入相加，并设其为12000万元。
所以，我们可以列出方程：$3600 + 3600(1 + x) + 3600(1 + x)^{2} = 12000$。
【答案】：
方程为：$3600 + 3600(1 + x) + 3600(1 + x)^{2} = 12000$。

6.第二届宁夏贺兰山东麓国际葡萄酒文化旅游节之2022年"塞上灵秀地·魅力石嘴山"首届太极文化旅游节在石嘴山市贺东庄园成功启幕.在交流会上,每两名来宾握手一次,统计共握手253次.若设参加此会的来宾为x名,则可列方程为(D)
A.x(x+1)= 253
B.x(x-1)= 253
C.$\frac{1}{2}x(x+1)= 253$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)= 253$

答案： 【解析】：
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，特别是与平均变化率（在这里是握手次数）相关的问题。
题目描述了一个交流会场景，每两名来宾握手一次，共握手253次。
我们需要找出参加此会的来宾数量 $x$ 与握手次数之间的关系。
考虑每名来宾都会与其他 $x-1$ 名来宾握手，但这样会重复计算每次握手（A与B握手和B与A握手是同一次握手，但按照上述方式计算会被计算两次）。
因此，实际的握手次数应该是 $\frac{1}{2} × x × (x - 1)$。
根据题目，这个表达式应该等于253，即：
$\frac{1}{2}x(x - 1) = 253$，
这就是我们需要求解的方程。
对比选项，我们发现这与选项D相匹配。
【答案】：
D.$\frac{1}{2}x(x-1)= 253$。