《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

9. 某广场中心有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为3/2米的喷水管喷水最大高度为4米,此时喷水水平距离为1/2米,在如图所示的坐标系中,这支喷泉的函数关系式是$ y=-10\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+4 $.

答案： $ y=-10\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+4 $

10. 设抛物线$y= ax^2+bx+c(a≠0)$过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x= 2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数解析式为$ y=\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{4}x+2 $或$ y=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+2 $.

答案： $ y=\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{4}x+2 $或$ y=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+2 $

11. 如图,抛物线$y= ax^2+bx+3(a≠0)$与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△BOC的面积.

答案： 解:
(1)$ \because $抛物线 $ y=ax^{2}+bx+3(a\neq0) $与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),$ \therefore \begin{cases} a+b+3=0, \\ 9a-3b+3=0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a=-1, \\ b=-2. \end{cases} $$ \therefore $抛物线的解析式为 $ y=-x^{2}-2x+3 $.
(2)由
(1)知,$ y=-x^{2}-2x+3 $,$ \therefore $点C的坐标为(0,3),$ \therefore OC=3 $,$ \because $点B的坐标为(-3,0),$ \therefore OB=3 $,$ \because \angle BOC=90^{\circ} $,$ \therefore \triangle BOC $的面积是$ \frac{OB\cdot OC}{2}=\frac{3×3}{2}=\frac{9}{2} $.

12. (核心素养·创新意识)设二次函数$y_1,y_2$的图象的顶点坐标分别为(a,b),(c,d).若a= -2c,b= -2d,且开口方向相同,则称$y_1$是$y_2$的“反倍顶二次函数”.
(1)请写出二次函数$y= x^2-x+1$的一个“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于x的二次函数$y_1= x^2+nx$和二次函数$y_2= 2x^2-nx+1,$若函数$y_1$恰是$y_2$的“反倍顶二次函数”,求n的值.

答案： 解:
(1)$ \because y_{2}=x^{2}-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4} $,顶点坐标为$ \left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right) $.$ \therefore y_{1} $的顶点坐标为$ \left(-1,-\frac{3}{2}\right) $.又$ \because $开口方向相同,$ \therefore $二次函数$ y=x^{2}-x+1 $的一个“反倍顶二次函数”是$ y_{1}=(x+1)^{2}-\frac{3}{2} $.
(2)$ y_{1}=x^{2}+nx=\left(x+\frac{n}{2}\right)^{2}-\frac{n^{2}}{4} $,$ y_{2}=2x^{2}-nx+1=2\left(x-\frac{n}{4}\right)^{2}-\frac{n^{2}-8}{8} $.$ \because y_{1} $恰好是$ y_{2} $的“反倍顶二次函数”,且$ -\frac{n}{2}=-2×\frac{n}{4} $,$ \therefore -\frac{n^{2}}{4}=(-2)×\left(-\frac{n^{2}-8}{8}\right) $,解得$ n=\pm2 $.