《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

8.下列二次函数中,对称轴为直线$x= 1$的是 (B)
A.$y= -x^{2}+1$
B.$y= \frac{1}{2}(x-1)^{2}$
C.$y= \frac{1}{2}(x+1)^{2}$
D.$y= -x^{2}-1$

答案： B

9.把二次函数$y= \frac{1}{2}x^{2}-3x+1化成y= a(x-h)^{2}+k$的形式为$y=\frac{1}{2}(x-3)^{2}-\frac{7}{2}$.

答案： $y=\frac{1}{2}(x-3)^{2}-\frac{7}{2}$

10.(银川外国语模拟)已知二次函数$y= -x^{2}+4x+5及一次函数y= -x+b$,将该二次函数在$x轴上方的图象沿x轴翻折到x$轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示),当直线$y= -x+b$与新图象有4个交点时,$b$的取值范围是______.

$-\frac{29}{4} ＜ b ＜ -1$

答案： 解：令$-x^2 + 4x + 5 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 5$。
二次函数$y = -x^2 + 4x + 5$在$x$轴上方的图象沿$x$轴翻折后，表达式为$y = x^2 - 4x - 5(-1 \leq x \leq 5)$。
当直线$y = -x + b$与$y = x^2 - 4x - 5(-1 \leq x \leq 5)$相切时，$x^2 - 3x - 5 - b = 0$，$\Delta = 9 + 4(5 + b) = 0$，解得$b = -\frac{29}{4}$。
当直线过点$(-1, 0)$时，$0 = 1 + b$，$b = -1$；当直线过点$(5, 0)$时，$0 = -5 + b$，$b = 5$。
直线与原二次函数$x ＜ -1$或$x ＞ 5$部分有两个交点，与翻折部分有两个交点时，$-\frac{29}{4} ＜ b ＜ -1$。
$-\frac{29}{4} ＜ b ＜ -1$

11.(宁夏自治区中考)在矩形$ABCD$中,$AB= 3$,$AD= 4$,动点$Q从点A$出发,以每秒1个单位的速度,沿$AB向点B$移动；同时点$P从点B$出发,仍以每秒1个单位的速度,沿$BC向点C$移动,连接$QP$,$QD$,$PD$.若两个点同时运动的时间为$x秒(0＜x≤3)$,解答下列问题：
(1)设$\triangle QPD的面积为S$,用含$x的函数关系式表示S$；当$x$为何值时,$S$有最小值？并求出最小值.
(2)是否存在$x$的值,使得$QP⊥DP$？试说明理由.

答案： 【解析】：
（1）本题可先根据矩形的性质和点$Q$、$P$的运动速度求出相关线段的长度，再用矩形的面积减去三个三角形的面积得到$\triangle QPD$的面积表达式，最后根据二次函数的性质求出面积的最小值。
（2）假设$QP\perp DP$，通过证明三角形相似得到线段之间的关系，进而列出方程求解，判断方程是否有解来确定是否存在满足条件的$x$值。
【答案】：
解：
(1)由题意可知$AQ = x$，$BP = x$，则$BQ = 3 - x$，$PC = 4 - x$。
$S_{\triangle ADQ}=\frac{1}{2}AD× AQ=\frac{1}{2}× 4× x = 2x$；
$S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}BQ× BP=\frac{1}{2}(3 - x)× x=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x^{2}$；
$S_{\triangle PCD}=\frac{1}{2}PC× CD=\frac{1}{2}(4 - x)× 3=\frac{12}{2}-\frac{3}{2}x = 6-\frac{3}{2}x$；
$S_{矩形ABCD}=AB× AD = 3× 4 = 12$。
所以$S = S_{矩形ABCD}-S_{\triangle ADQ}-S_{\triangle BPQ}-S_{\triangle PCD}$
$=12 - 2x - (\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x^{2}) - (6-\frac{3}{2}x)$
$=12 - 2x - \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x^{2}- 6+\frac{3}{2}x$
$=\frac{1}{2}x^{2}- 2x + 6$
$=\frac{1}{2}(x^{2}- 4x + 12)$
$=\frac{1}{2}(x^{2}- 4x + 4 + 8)$
$=\frac{1}{2}((x - 2)^{2}+ 8)$
$=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+ 4$。
因为$\frac{1}{2}\gt0$，所以该二次函数图象开口向上，当$x = 2$时，$S$有最小值，最小值为$4$。
(2)假设存在$x$的值，使得$QP\perp DP$。
因为$\angle DQP+\angle DPQ = 90^{\circ}$，$\angle DPQ+\angle BPD = 90^{\circ}$，所以$\angle DQP=\angle BPD$。
又因为$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，所以$\triangle BPQ\sim\triangle CDP$。
则$\frac{BQ}{PC}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{3 - x}{4 - x}=\frac{x}{3}$。
$3(3 - x)=x(4 - x)$
$9 - 3x = 4x - x^{2}$
$x^{2}- 7x + 9 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta = b^{2}- 4ac$，在方程$x^{2}- 7x + 9 = 0$中，$a = 1$，$b = - 7$，$c = 9$，则$\Delta = (-7)^{2}- 4×1×9 = 49 - 36 = 13\gt0$，所以方程有两个不相等的实数根。
$x=\frac{7\pm\sqrt{13}}{2}$。
因为$0\lt x\leq3$，而$\frac{7 + \sqrt{13}}{2}\gt3$，$\frac{7 - \sqrt{13}}{2}\in(0,3]$，所以当$x = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$时，$QP\perp DP$。
综上，
(1) $S=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+ 4$，当$x = 2$时，$S$有最小值$4$；
(2)存在$x = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$，使得$QP\perp DP$。