《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

8.如图,$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^\circ$,$AB= 10cm$,$BC= 8cm$,点P从A开始沿AC方向向点C以1cm/s的速度运动,同时Q从点C开始沿CB方向向点B以2cm/s的速度运动(点Q到点B时停止),在运动过程中,四边形PABQ面积的最小值是$\underline{\quad\quad}cm^2$.

$\underline{\quad\quad}$15

答案： 【解析】：本题可先根据勾股定理求出$AC$的长度，再设出运动时间，用含时间的式子表示出$PC$和$CQ$的长度，进而表示出$\triangle PCQ$的面积，最后根据四边形$PABQ$的面积$=\triangle ABC$的面积$-\triangle PCQ$的面积，得到一个关于时间的二次函数，根据二次函数的性质求出面积的最小值。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10cm$，$BC = 8cm$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6cm$。
设运动时间为$t$秒（$0\leq t\leq4$），则$AP = t cm$，$CQ = 2t cm$，那么$PC=(6 - t)cm$。
$\triangle PCQ$的面积$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}× PC× CQ=\frac{1}{2}×(6 - t)×2t = 6t - t^{2}$。
$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8 = 24cm^{2}$。
所以四边形$PABQ$的面积$S = S_{\triangle ABC}-S_{\triangle PCQ}=24-(6t - t^{2}) = t^{2}-6t + 24$。
对于二次函数$y=t^{2}-6t + 24$，其中$a = 1$，$b = -6$，$c = 24$，根据二次函数顶点坐标公式$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2×1}= 3$。
把$t = 3$代入$S=t^{2}-6t + 24$可得$S=3^{2}-6×3 + 24 = 15cm^{2}$。
【答案】：$15$

9.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为60m的围网在水库中围成了如图所示的①②两块矩形区域,而且这两块矩形区域的面积相等.设AE的长度是$x\text{m}$,矩形区域AEFD的面积为$y\text{m}^2$.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)x取何值时,y最大?最大值为多少?

答案：
(1) 解：设 AE = x m，因为两块矩形面积相等，设 AD = a m，HG = b m，则 DH = a - b m。由面积相等得：x·(a - b) = x·b，所以 a = 2b。围网总长为 60 m，即 3x + 2a = 60，将 a = 2b 代入得 3x + 2a = 60，解得 a = (60 - 3x)/2。矩形 AEFD 面积 y = x·a = x·(60 - 3x)/2 = -3/2 x² + 30x。自变量 x 取值范围：0 ＜ x ＜ 20。
(2) 解：y = -3/2 x² + 30x，因为 -3/2 ＜ 0，抛物线开口向下，对称轴 x = -30/(2×(-3/2)) = 10。当 x = 10 时，y 最大，最大值为 -3/2×10² + 30×10 = 150 m²。即 x = 10 时，y 最大，最大值为 150 m²。

10.(核心素养·应用意识)(榆林实验中学期中)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设$AB= x\text{m}$.
(1)若花园的面积为$192\text{m}^2$,求x的值;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.

答案： 【解析】：
(1) 首先根据题意，矩形花园的周长是28m，设$AB = x\text{m}$，则$BC = (28 - x)\text{m}$。
花园的面积 $S = AB × BC = x(28 - x)$。
根据题目，花园的面积为$192m^2$，因此可以列出方程：
$x(28 - x) = 192$，
展开方程得：
$28x - x^2 = 192$，
整理为标准形式：
$x^2 - 28x + 192 = 0$，
接下来，我们利用一元二次方程的求根公式来求解这个方程。
求根公式为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，
其中，$a = 1, b = -28, c = 192$。
代入求根公式，得到：
$x = \frac{28 \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 × 1 × 192}}{2 × 1}$
$= \frac{28 \pm \sqrt{784 - 768}}{2}$
$= \frac{28 \pm \sqrt{16}}{2}$
$= \frac{28 \pm 4}{2}$
因此，解得两个$x_1 = 12, \quad x_2 = 16$。
所以，$x$的值可以是12m或16m。
(2) 接下来，考虑树的位置。树与墙$CD$和$AD$的距离分别是15m和6m。
因此，为了满足树在花园内的条件，我们有以下不等式组：
$\begin{cases}x \geq 6, \\28 - x \geq 15.\end{cases}$
解这个不等式组，我们得到：
$6 \leq x \leq 13$，
花园的面积 $S = x(28 - x) = -x^2 + 28x$。
这是一个关于 $x$ 的二次函数，且 $a = -1 ＜ 0$，因此这个函数是一个开口向下的抛物线。
这意味着函数在给定的区间内有一个最大值。
最大值出现在对称轴上，对称轴的方程是 $x = -\frac{b}{2a} = 14$。
然而，由于 $x$ 的取值范围是 $6 \leq x \leq 13$，最大值不会出现在 $x = 14$，而是出现在区间的右端点 $x = 13$。
将 $x = 13$ 代入面积公式 $S = -x^2 + 28x$，得到：
$S = -13^2 + 28 × 13$
$= -169 + 364$
$= 195$，
所以在考虑树的位置后，花园面积的最大值为$195m^2$。
【答案】：
(1) $x = 12$ 或 $x = 16$；
(2) 花园面积的最大值为 $195m^2$。