《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

9. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+2k-2= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数,求该方程的根.

答案：
(1)$\Delta=4-4(2k-2)＞0,k＜\frac{3}{2}$.
(2)$\because k$为正整数,且$k＜\frac{3}{2},\therefore k=1$.当$k=1$时,$x^{2}+2x=0.x_{1}=0,x_{2}=-2$.

10.(核心素养·创新意识)阅读材料,回答问题.
材料：为解方程$x^{4}-x^{2}-6= 0$,可先将方程变形为$(x^{2})^{2}-x^{2}-6= 0$,然后设$x^{2}= y$,则$(x^{2})^{2}= y^{2}$,原方程化为$y^{2}-y-6= 0$,①
解得$y_{1}= -2$,$y_{2}= 3$.
当$y= -2$时,$x^{2}= -2$无意义,舍去；
当$y= 3$时,$x^{2}= 3$,解得$x= \pm \sqrt{3}$.
所以原方程的根为$x_{1}= \sqrt{3}$,$x_{2}= -\sqrt{3}$.
问题：(1)在由方程$x^{4}-x^{2}-6= 0$得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想.
(2)利用本题的解题方法,解方程$(x^{2}-x)^{2}-4(x^{2}-x)-12= 0$.
解:令$x^{2}-x=y$,则原方程可化为$y^{2}-4y-12=0$,即$(y+2)(y-6)=0$,所以$y+2=0$或$y-6=0$,解得$y_{1}=-2,y_{2}=6$.当$y=-2$时,$x^{2}-x=-2$,即$x^{2}-x+2=0$,此方程无实数根;当$y=6$时,$x^{2}-x=6$,即$(x+2)(x-3)=0$,解得$x_{1}=-2,x_{2}=3$.所以原方程的根为$x_{1}=-2,x_{2}=3$.

答案：
(1)换元 转化
(2)解:令$x^{2}-x=y$,则原方程可化为$y^{2}-4y-12=0$,即$(y+2)(y-6)=0$,所以$y+2=0$或$y-6=0$,解得$y_{1}=-2,y_{2}=6$.当$y=-2$时,$x^{2}-x=-2$,即$x^{2}-x+2=0$,此方程无实数根;当$y=6$时,$x^{2}-x=6$,即$(x+2)(x-3)=0$,解得$x_{1}=-2,x_{2}=3$.所以原方程的根为$x_{1}=-2,x_{2}=3$.

微专题3
运用十字相乘法分解因式解一元二次方程
阅读下列材料：
(1)将$x^{2}+2x-35$分解因式,我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
$x^{2}= x\cdot x$,$-35= (-5)×(+7)$.
②交叉相乘,验中项： $7x-5x= 2x$.
③横向写出两因式：$x^{2}+2x-35= (x+7)(x-5)$.
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.
(2)根据乘法原理：若$ab= 0$,则$a= 0或b= 0$.
试用上述方法和原理解下列方程
1.(凉山州中考)解方程：$x^{2}-2x-3= 0$.
应用1 如果分式$\frac{x^{2}-7x-8}{x+1}$的值为0,则$x= $______.
应用2 已知$x^{2}-15xy+50y^{2}= 0(xy\neq0)$,则$\frac{x}{y}$的值是______.

答案： 解:原方程可以变形为$(x-3)(x+1)=0,x-3=0$或$x+1=0,\therefore x_{1}=3,x_{2}=-1$.
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@@5或10