《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

8.如果关于x的一元二次方程$kx^{2}-3x+1= 0$有两个实数根,那么k的取值范围是(C)
A.$k\geqslant \frac {9}{4}$
B.$k\geqslant -\frac {9}{4}且k\neq 0$
C.$k\leqslant \frac {9}{4}且k\neq 0$
D.$k\leqslant -\frac {9}{4}$

答案： C

9.若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程$x^{2}-6x+n= 0$的两个根,则n的值为8或9.

答案： 8或9

10.已知关于x的方程$x^{2}+ax+a-2= 0$.
(1)求证:不论a取何值,该方程都有两个不等的实数根；
(2)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一个根.

答案：
(1)证明:因为$\Delta=a^{2}-4×1×(a-2)=a^{2}-4a+8=(a-2)^{2}+4＞0$,所以不论$a$取何值,该方程都有两个不等的实数根.
(2)解:将$x=1$代入方程,得$1+a+a-2=0$,解得$a=\frac{1}{2}$.将$a=\frac{1}{2}$代回原方程,得$x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=-\frac{3}{2}$,即该方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$.

11.(汉中龙岗中学月考)已知▱ABCD的两边AB,BC的长是关于x的方程$x^{2}-mx+\frac {m}{2}-\frac {1}{4}= 0$的两个实数根.
(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若AB的长为2,那么▱ABCD的周长是多少？

答案：
(1)解:若四边形$ABCD$是菱形,则$AB=BC$.$\because AB$,$BC$的长是关于$x$的方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$的两个实数根,$\therefore\Delta=(m-1)^{2}=0$,解得$m=1$.$\therefore$当$m=1$时,四边形$ABCD$是菱形.此时,方程为$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$.$\therefore$菱形的边长为$\frac{1}{2}$.
(2)解:根据题意,将$x=2$代入方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$中,解得$m=\frac{5}{2}$.将$m=\frac{5}{2}$代入方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$中,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=\frac{1}{2}$,则$BC=\frac{1}{2}$.$\therefore□ ABCD$的周长为$(2+\frac{1}{2})×2=5$.