《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

方法指导
(1)条件:如图,在等腰△ABC中,AB= BC,∠DBE= 1/2∠CBA.

结论:△DBE≌______.

答案： △D'BE

(2)条件:如图,在等腰Rt△ABC中,∠MAN= 45°.

结论$:①MN= ______;②CN^2+BM^2= ______.$

答案： ①MQ；②MN²

(3)条件:如图,在正方形ABCD中,∠EAF= 45°.

结论:①EF= DF+______;②△CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半$;③DM^2+BN^2= ______.$

答案： ①BE；③MN²

1. 如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,D,E在BC上,∠DAE= 45°,为了探究BD,DE,CE之间的等量关系,现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB,连接DF,经探究,你所得到的BD,DE,CE之间的等量关系式是BD²+CE²=DE².(无须证明)

答案： BD²+CE²=DE²

2. 如图,在△ABC中,∠BAC= 120°,AB= AC,D,E在BC上,∠DAE= 60°,∠ADE= 45°,试仿照(1)的方法,利用图形的旋转变换,探究BD,DE,CE之间的等量关系,并证明你的结论.

答案： CE²=BD²+DE².证明:将△AEC绕A顺时针旋转120°后成△AFB,连接DF;在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠ABD=∠ACE=30°,由旋转的性质可知,△AEC≌△AFB,
∴∠ABF=∠ACE =30°,FB=CE.
∴∠FBD=∠ABF+∠ABD=60°,∠FAE=120°.又∠DAE=60°,故∠FAD=∠FAE−∠DAE=60°,易证△AFD≌△AED,故FD=DE.
∵∠ADE=45°,
∴∠ADF=45°,故∠BDF=90°.在Rt△BDF中,由勾股定理,得BF²=BD²+DF²,
∴CE²=BD²+DE².

3. 如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,且∠EAF= 45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABQ,连接EQ.求证：
(1)EA是∠QED的平分线；
$(2)EF^2= BE^2+DF^2.$

答案：
(1)由旋转的性质,得AQ=AF,∠QAF=90°.
∵∠EAF=45°,
∴∠QAE=∠QAF−∠EAF=45°,
∴∠QAE=∠FAE.在△AQE和△AFE中,{AQ=AF,∠QAE=∠FAE,AE=AE},
∴△AQE≌△AFE(SAS),
∴∠AEQ=∠AEF,
∴EA是∠QED的平分线.
(2)由
(1)知△AQE≌△AFE,
∴QE=FE.由旋转的性质,得QB=DF,∠ABQ=∠ADF=45°=∠ABD,
∴∠QBE=90°.在Rt△QBE中,QB²+BE²=QE²,
∴EF²=BE²+DF².