《2025年课堂点睛九年级数学上册人教版宁夏专版》

10.(乐山市中考)已知关于$x的一元二次方程x^{2}+x-m= 0$.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围；
(2)二次函数$y= x^{2}+x-m$的部分图象如图所示,求一元二次方程$x^{2}+x-m= 0$的解.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的判别式以及二次函数与$x$轴交点的关系。
（1）对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根。
在方程$x^{2}+x - m=0$中，$a = 1$，$b = 1$，$c=-m$，因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta=1^{2}-4×1×(-m)\gt0$。
解这个不等式：
$1 + 4m\gt0$
$4m\gt - 1$
$m\gt-\frac{1}{4}$
（2）由二次函数$y = x^{2}+x - m$的图象可知，该函数图象与$x$轴的一个交点为$(1,0)$。
因为二次函数$y = x^{2}+x - m$与一元二次方程$x^{2}+x - m=0$的关系是：二次函数$y = ax^{2}+bx+c(a\neq0)$与$x$轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$的根，所以$x = 1$是方程$x^{2}+x - m=0$的一个根。
将$x = 1$代入方程$x^{2}+x - m=0$中，可得：
$1^{2}+1 - m=0$
$2 - m=0$
解得$m = 2$。
把$m = 2$代入原方程$x^{2}+x - m=0$，得到$x^{2}+x - 2=0$。
对于方程$x^{2}+x - 2=0$，因式分解可得$(x - 1)(x + 2)=0$。
则$x - 1=0$或$x + 2=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$。
【答案】：
(1)$m\gt-\frac{1}{4}$
(2)$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$

11.(核心素养·创新意识)小爱同学学习二次函数后,对函数$y= -(|x|-1)^{2}$进行了探究,在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图的函数图象,请根据函数图象,回答下列问题：
(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：函数图象关于$y$轴对称（答案不唯一）；
②方程$-(|x|-1)^{2}= -1$的解为：$x_1 = -2$，$x_2 = 0$，$x_3 = 2$；
③若方程$-(|x|-1)^{2}= a$有四个实数根,则$a$的取值范围是$-1 ＜ a ＜ 0$.
(2)延伸思考：
将函数$y= -(|x|-1)^{2}的图象经过怎样的平移可得到函数y_{1}= -(|x-2|-1)^{2}+3$的图象？写出平移过程,并直接写出当$2＜y_{1}\leq3$时,自变量$x$的取值范围.
先向右平移$2$个单位长度，再向上平移$3$个单位长度；$1 ＜ x ＜ 3$

答案： 【解析】：本题主要考查二次函数的性质、方程的求解以及函数图象的平移。
（1）①对于函数$y = -(|x| - 1)^2$，因为函数表达式中$|x|$的存在，
所以函数图象关于$y$轴对称。
②已知方程$-(|x| - 1)^2 = -1$，移项可得$(|x| - 1)^2 = 1$。
根据平方根的定义，若$m^2 = n$（$n\geq0$），则$m = \pm\sqrt{n}$，
所以$|x| - 1 = \pm1$。
当$|x| - 1 = 1$时，$|x| = 2$，则$x = \pm2$；
当$|x| - 1 = -1$时，$|x| = 0$，则$x = 0$。
因此，方程的解为$x_1 = -2$，$x_2 = 0$，$x_3 = 2$。
③方程$-(|x| - 1)^2 = a$有四个实数根，即函数$y = -(|x| - 1)^2$与直线$y = a$有四个交点。
观察函数图象可知，当$-1 ＜ a ＜ 0$时，函数图象与直线$y = a$有四个交点。
（2）函数图象平移的规律是“左加右减，上加下减”。
对于函数$y = -(|x| - 1)^2$到$y_1 = -(|x - 2| - 1)^2 + 3$，
先将函数$y = -(|x| - 1)^2$的图象向右平移$2$个单位长度，得到$y = -(|x - 2| - 1)^2$的图象，
再向上平移$3$个单位长度，得到$y_1 = -(|x - 2| - 1)^2 + 3$的图象。
由函数图象可知，当$2 ＜ y_1 \leq 3$时，自变量$x$的取值范围是$1 ＜ x ＜ 3$。
【答案】：
(1)①函数图象关于$y$轴对称（答案不唯一）；
②$x_1 = -2$，$x_2 = 0$，$x_3 = 2$；
③$-1 ＜ a ＜ 0$；
(2)先向右平移$2$个单位长度，再向上平移$3$个单位长度；$1 ＜ x ＜ 3$。