《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

5 已知$A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(4,3)$三点。
(1) 在坐标系中描出各点，画出$\triangle ABC$；
(2) 求$\triangle ABC$的面积；
(3) 设点$P$在坐标轴上，且$\triangle ABP$与$\triangle ABC$的面积相等，求点$P$的坐标。
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答案：
解:
(1)如图，△ABC即为所求.

(2)过点C向x轴，y轴作垂线，垂足分别为D，E；
因为$S_{四边形DOEC}=3×4 = 12$，$S_{\triangle BCD}=\frac {1}{2}×2×3 = 3$，$S_{\triangle ACE}=\frac {1}{2}×2×4 = 4$，$S_{\triangle AOB}=\frac {1}{2}×2×1 = 1$，
所以$S_{\triangle ABC}=S_{四边形DOEC}-S_{\triangle ACE}-S_{\triangle BCD}-S_{\triangle AOB}=12 - 3 - 4 - 1 = 4$.
(3)当点P在x轴上时，$S_{\triangle ABP}=\frac {1}{2}AO\cdot BP = 4$，
即$\frac {1}{2}×1×BP = 4$，解得$BP = 8$，
所以点P的坐标为$(10,0)$或$(-6,0)$；
当点P在y轴上时，$S_{\triangle ABP}=\frac {1}{2}×BO×AP = 4$，
即$\frac {1}{2}×2×AP = 4$，解得$AP = 4$，
所以点P的坐标为$(0,5)$或$(0,-3)$.
综上，点P的坐标为$(0,5)$或$(0,-3)$或$(10,0)$或$(-6,0)$.

(1) $a=$5；
(2) 求点$C$的坐标；
解:因为$a = 5$，点$A(0,a)$，
所以$A(0,5)$，所以$OA = 5$，
所以$OB=\sqrt {AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt {13^{2}-5^{2}}=12$.
因为$B(b,0)$，
所以$b = 12$，所以$B(12,0)$.
因为$C(b,10)$，
所以点C的坐标为$(12,10)$.
(3) 若在第二象限有一点$D(m,2)$，连接$DA$，$DO$，已知$S_{\triangle ADO}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，求点$D$的坐标。
解:因为$B(12,0)$，$C(12,10)$，
所以$BC = 10$，
所以$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}×12×10 = 60$.
因为$S_{\triangle ADO}=\frac {1}{2}OA×(-m)=\frac {1}{2}×5×(-m)=-\frac {5}{2}m$，又$S_{\triangle ADO}=\frac {1}{3}S_{\triangle ABC}$，
所以$-\frac {5}{2}m=\frac {1}{3}×60$，
解得$m = -8$，
所以点D的坐标为$(-8,2)$.

答案： 解:
(1)5
(2)因为$a = 5$，点$A(0,a)$，
所以$A(0,5)$，所以$OA = 5$，
所以$OB=\sqrt {AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt {13^{2}-5^{2}}=12$.
因为$B(b,0)$，
所以$b = 12$，所以$B(12,0)$.
因为$C(b,10)$，
所以点C的坐标为$(12,10)$.
(3)因为$B(12,0)$，$C(12,10)$，
所以$BC = 10$，
所以$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}×12×10 = 60$.
因为$S_{\triangle ADO}=\frac {1}{2}OA×(-m)=\frac {1}{2}×5×(-m)=-\frac {5}{2}m$，又$S_{\triangle ADO}=\frac {1}{3}S_{\triangle ABC}$，
所以$-\frac {5}{2}m=\frac {1}{3}×60$，
解得$m = -8$，
所以点D的坐标为$(-8,2)$.

7 如图，已知在平面直角坐标系中，点$A$在$y$轴上，点$B$，$C$在$x$轴上，$S_{\triangle ABO}=8$，$OA = OB$，$BC = 10$，点$P$的坐标是$(-6,a)$。
(1) 求$\triangle ABC$三个顶点$A$，$B$，$C$的坐标；
(2) 连接$PA$，$PB$，并用含字母$a$的式子表示$\triangle PAB$的面积$(a\neq2)$；
(3) 在第(2)问的条件下，是否存在点$P$，使$\triangle PAB$的面积等于$\triangle ABC$的面积？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
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答案：
解:
(1)因为$S_{\triangle ABO}=\frac {1}{2}OA\cdot OB$，且$OA = OB$，
所以$\frac {1}{2}OA^{2}=8$，解得$OA = 4$，
所以$OB = OA = 4$，
所以$OC = BC - OB = 10 - 4 = 6$，
所以$A(0,-4)$，$B(-4,0)$，$C(6,0)$.
(2)当$a＞2$时，如图1，作$PH⊥x$轴交于点H，过点A作$AG⊥PH$交于点G.
$S_{\triangle PAB}=\frac {1}{2}×(a + 4)×6-\frac {1}{2}×2×a-\frac {1}{2}×(2 + 6)×4=2a - 4$；
当$0\lt a＜2$时，如图2，过点P作$PM⊥y$轴交于点M.
$S_{\triangle PAB}=\frac {1}{2}×6×(4 + a)-\frac {1}{2}×4×4-\frac {1}{2}×(4 + 6)×a=4 - 2a$；
当$-4\lt a\leq0$时，如图3，过点A作$AG⊥PH$交于点G.
$S_{\triangle PAB}=4×6-\frac {1}{2}×4×4-\frac {1}{2}×2×(-a)-\frac {1}{2}×6×(a + 4)=4 - 2a$；
当$a\leq - 4$时，如图4，过点P作$PN⊥y$轴交于点N.
$S_{\triangle PAB}=6×(-a)-\frac {1}{2}×4×4-\frac {1}{2}×2×(-a)-\frac {1}{2}×6×(-4 - a)=4 - 2a$.
综上，$S_{\triangle PAB}=\begin{cases}2a - 4,a＞2\\4 - 2a,a＜2\end{cases}$
(3)$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}×10×4 = 20$.
当$a＞2$时，由$2a - 4 = 20$，解得$a = 12$，
此时点P的坐标为$(-6,12)$；
当$a＜2$时，由$4 - 2a = 20$，解得$a = -8$.
此时点P的坐标为$(-6,-8)$.
综上，点P的坐标为$(-6,12)$或$(-6,-8)$.