《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

4 如图，$AD$平分$∠BAC$，$DE⊥AB$交$AB$的延长线于点$E$，且$BD=CD$。
（1）求证：$∠ABD+∠C=180^{\circ}$；
（2）若$AB=8$，$AC=10$，求$AE$的长。
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答案：
(1) 证明:过点D作DF⊥AC于点F,
则∠AFD=∠CFD=90°.
因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,
所以∠EAD=∠FAD,
在△ADE和△ADF中,{∠E=∠AFD,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
所以△ADE≌△ADF(AAS),
所以DE=DF,∠E=90°.
在Rt△DBE和Rt△DCF中,{BD=CD,DE=DF,
所以Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),
所以∠DBE=∠C.
因为∠ABD+∠DBE=180°,
所以∠ABD+∠C=180°.
(2) 解:由
(1)知Rt△ADE≌Rt△ADF,BE=CF,
所以AE=AF,所以AB+BE=AC−CF.
因为AB=8,AC=10,
所以8+BE=10−BE,解得BE=1,
所以AE=AB+BE=8+1=9,
所以线段AE的长为9.

5 如图，$AD$为$△ABC$的角平分线，直线$MN⊥AD$于点$A$，$E$为$MN$上的一点，$△ABC$的周长记为$R$，$△EBC$的周长记为$S$。求证：$S＞R$。
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答案： 证明:延长BA到点F,使得AF=AC,连接EF.
因为AD平分∠BAC,MN⊥AD,
所以∠FAE=∠MAB=90°−∠BAD=90°−∠CAD=∠CAE.
在△ACE和△AFE中,{AC=AF,∠CAE=∠FAE,AE=AE,
所以△ACE≌△AFE(SAS),所以CE=FE.
在△BEF中,BE+EF＞BF,
所以BE+CE＞AB+AF,
所以BE+CE＞AB+AC,
所以BC+BE+CE＞BC+AB+AC,即S＞R.

6 如图，已知$AC// BD$，$AE$，$BE$分别平分$∠CAB$和$∠DBA$，点$E$在线段$CD$上。
（1）求$∠AEB$的度数；
（2）求证：$CE=DE$。
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答案：
(1) 解:因为AC//BD,所以∠CAB+∠ABD=180°.
因为AE平分∠CAB,所以∠EAB=1/2∠CAB,
同理可得∠EBA=1/2∠ABD,
所以∠EAB+∠EBA=90°,所以∠AEB=90°.
(2) 证明:在AB上截取AF=AC,连接EF.
在△ACE和△AFE中,{AC=AF,∠CAE=∠FAE,AE=AE,
所以△ACE≌△AFE(SAS),
所以∠C=∠AFE,CE=FE.
因为∠AFE+∠EFB=180°,∠C+∠D=180°,
所以∠EFB=∠D.
在△BEF和△BED中,{∠EFB=∠D,∠EBF=∠EBD,BE=BE,
所以△BEF≌△BED(AAS),所以EF=ED,
所以CE=DE.