《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

8 (2025常州溧阳期末)如图，在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若$BC=\sqrt {5}$，$AE:EC=3:2$，则AB的长为 （B）
A. $\sqrt {41}$
B. $\sqrt {30}$
C. $\sqrt {10}$
D. 3
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答案： B

9 (2024南通启东月考)如图，在$Rt△ABC$中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$。若$S_{3}+S_{2}-S_{1}=18$，则图中阴影部分的面积为 （B）

A. 6
B. $\frac {9}{2}$
C. 5
D. $\frac {7}{2}$

答案： B

10 如图，在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，$c=2$，则$a^{2}+b^{2}+c^{2}=$8。

答案： 8

11 (2025徐州睢宁期中)对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形。现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O。若$AD=4$，$BC=2$，则$AB^{2}+CD^{2}=$20。

答案： 20

12 如图，在$△ABC$中，$AB=15$，$BC=14$，$AC=13$，求$△ABC$的面积。
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程。
作$AD⊥BC$，垂足为D，设$BD=x$，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积。
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答案： 解：在 $\triangle ABC$ 中，$AB=15$，$BC=14$，$AC=13$，
设 $BD=x$，则有 $CD=14-x$。
由勾股定理，得 $AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=15^{2}-x^{2}$，$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$，
所以 $15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14-x)^{2}$，
解得 $x=9$，
所以 $AD=12$，
所以 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC \cdot AD=\frac{1}{2} × 14 × 12=84$。

13 新考法 如图，在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，$AB=10cm$，$AC=6cm$，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t s。
(1) 求边BC的长；
(2) 当$△ABP$为直角三角形时，求t的值；
(3) 当$△ABP$为等腰三角形时，求t的值。
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答案： 解：
(1) 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=10^{2}-6^{2}=64$，所以 $BC=8\ cm$。
(2) 由题意可知 $BP=2t\ cm$。
①当 $\angle APB$ 为直角时，点 $P$ 与点 $C$ 重合，$BP=BC=8\ cm$，即 $t=4$；
②当 $\angle BAP$ 为直角时，$BP=2t\ cm$，$CP=(2t-8)\ cm$，$AC=6\ cm$，
在 $Rt\triangle ACP$ 中，$AP^{2}=6^{2}+(2t-8)^{2}$，
在 $Rt\triangle BAP$ 中，$AB^{2}+AP^{2}=BP^{2}$，即 $10^{2}+[6^{2}+(2t-8)^{2}]=(2t)^{2}$，
解得 $t=\frac{25}{4}$。
综上，当 $\triangle ABP$ 为直角三角形时，$t$ 的值为 4 或 $\frac{25}{4}$。
(3) ①当 $AB=BP$ 时，易得 $t=5$；
②当 $AB=AP$ 时，$BP=2BC=16\ cm$，易得 $t=8$；
③当 $BP=AP$ 时，$AP=BP=2t\ cm$，$CP=|2t-8|\ cm$，$AC=6\ cm$。
在 $Rt\triangle ACP$ 中，$AP^{2}=AC^{2}+CP^{2}$，即 $(2t)^{2}=6^{2}+(2t-8)^{2}$，解得 $t=\frac{25}{8}$。
综上，当 $\triangle ABP$ 为等腰三角形时，$t$ 的值为 5 或 8 或 $\frac{25}{8}$。