《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

5 如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC=∠DAE.
(1) 求证：BD=CE；
(2) 连接DC，若CD=CE，求证：AD平分∠BAC.
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答案： 证明：（1）因为 $ \triangle A B C $ 和 $ \triangle A D E $ 都是等腰三角形，$ B C $，$ D E $ 分别是这两个等腰三角形的底边，
所以 $ A B = A C $，$ A D = A E $。
因为 $ \angle B A C = \angle D A E $，
所以 $ \angle B A C - \angle C A D = \angle D A E - \angle C A D $，
所以 $ \angle B A D = \angle C A E $。
在 $ \triangle A B D $ 和 $ \triangle A C E $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { A B = A C, } \\ { \angle B A D = \angle C A E, } \\ { A D = A E, } \end{array} \right. $
所以 $ \triangle A B D \cong \triangle A C E ( S A S ) $，
所以 $ B D = C E $。
（2）因为 $ C D = C E $，$ B D = C E $，所以 $ B D = C D $。
在 $ \triangle A B D $ 和 $ \triangle A C D $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { A D = A D, } \\ { A B = A C, } \\ { B D = C D, } \end{array} \right. $
所以 $ \triangle A B D \cong \triangle A C D ( S S S ) $，
所以 $ \angle B A D = \angle C A D $，
所以 $ A D $ 平分 $ \angle B A C $。

6 如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE. 求证：AB=CD.
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答案： 证明：因为 $ A B \perp B D $，$ E D \perp B D $，$ A C \perp C E $，
所以 $ \angle A C E = \angle A B C = \angle C D E = 90 ^ { \circ } $，
所以 $ \angle A C B + \angle E C D = 90 ^ { \circ } $，$ \angle E C D + \angle C E D = 90 ^ { \circ } $，
所以 $ \angle A C B = \angle C E D $。
在 $ \triangle A B C $ 和 $ \triangle C D E $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A C B = \angle C E D, } \\ { B C = D E, } \\ { \angle A B C = \angle C D E, } \end{array} \right. $
所以 $ \triangle A B C \cong \triangle C D E ( A S A ) $，
所以 $ A B = C D $。

7 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为CD的中点，连接AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F.
(1) 求证：△DAE≌△CFE；
(2) 若AB=BC+AD，求证：BE⊥AF.
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答案： 证明：（1）因为 $ A D // B C $，所以 $ \angle A D C = \angle E C F $。
因为 $ E $ 是 $ C D $ 的中点，所以 $ D E = E C $。
在 $ \triangle D A E $ 和 $ \triangle C F E $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A D E = \angle F C E, } \\ { D E = C E, } \\ { \angle A E D = \angle F E C, } \end{array} \right. $
所以 $ \triangle D A E \cong \triangle C F E ( A S A ) $。
（2）由（1）知 $ \triangle D A E \cong \triangle C F E $，
所以 $ A E = F E $，$ A D = F C $。
因为 $ A B = B C + A D $，
所以 $ A B = B C + F C $，即 $ A B = B F $。
在 $ \triangle A B E $ 和 $ \triangle F B E $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { A B = F B, } \\ { A E = F E, } \\ { B E = B E, } \end{array} \right. $
所以 $ \triangle A B E \cong \triangle F B E ( S S S ) $，且 $ \angle A E B + \angle F E B = 180 ^ { \circ } $，
所以 $ \angle A E B = \angle F E B = 90 ^ { \circ } $，所以 $ B E \perp A F $。

8 如图1，在△ABC中，∠A=∠ABC，延长AC到点E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到点G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于点H，且EF=GH.
(1) 求证：△AEF≌△BGH；
(2) 如图2，连接EG与FH相交于点D，若AB=4，求DH的长.
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答案： （1）证明：因为 $ \angle A = \angle A B C $，$ \angle A B C = \angle G B H $，
所以 $ \angle A = \angle G B H $。
因为 $ E F \perp A B $，$ G H \perp A B $，
所以 $ \angle A F E = \angle B H G $。
在 $ \triangle A E F $ 和 $ \triangle B G H $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A = \angle G B H, } \\ { \angle A F E = \angle B H G, } \\ { E F = G H, } \end{array} \right. $
所以 $ \triangle A E F \cong \triangle B G H ( A A S ) $。
（2）解：因为 $ \triangle A E F \cong \triangle B G H $，
所以 $ A F = B H $，所以 $ A B = F H = 4 $。
因为 $ E F \perp A B $，$ G H \perp A B $，
所以 $ \angle E F D = \angle G H D $。
在 $ \triangle E F D $ 和 $ \triangle G H D $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle E F D = \angle G H D, } \\ { \angle E D F = \angle G D H, } \\ { E F = G H, } \end{array} \right. $
所以 $ \triangle E F D \cong \triangle G H D ( A A S ) $，
所以 $ D H = D F = \frac { 1 } { 2 } F H = \frac { 1 } { 2 } A B = 2 $。