《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

7(2025苏州张家港月考)如图,在长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为(C)
A. 3 cm²
B. 4 cm²
C. 6 cm²
D. 12 cm²

答案： C

8(2025浙江一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以各边为直径作半圆,图中的阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”.当AC=8,BC=4时,阴影部分的面积为______16.
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答案： 16

9(2025泰州兴化期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,若点P在边AC上运动,过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,连接BP,则BP+PQ的最小值是$\frac{24}{5}$.

答案： $\frac{24}{5}$

(1) 求证:∠B为直角;
(2) 记△ADE的面积为S₁,△BCE的面积为S₂,则S₂ - S₁的值为66.

答案：
(1) 证明：因为AD⊥CE，
所以∠D=90°。
因为AD=7，DC=24，
所以$AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}=625=25^{2}$。
因为AB=20，BC=15，$20^{2}+15^{2}=25^{2}$，
所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，
所以△ABC是直角三角形，且∠B为直角。
(2) 66

11新考法(2025扬州高邮期中)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16 cm,BC=12 cm,M,N是△ABC边上的两个动点,其中点N从点A开始沿A→B方向运动,且速度为2 cm/s,点M从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为4 cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.
(1)出发2 s后,求MN的长;
(2)当点M在边BC上运动时,出发几秒后,△MNB是等腰三角形?
(3)当点M在边CA上运动时,求能使△BCM成为等腰三角形的t的值.
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答案：
解：
(1) 当t=2时，AN=2t=4 cm，BM=4t=8 cm。
因为AB=16 cm，
所以BN=AB−AN=16−4=12(cm)。
在Rt△MNB中，由勾股定理可得
$MN=\sqrt{BM^{2}+BN^{2}}=\sqrt{8^{2}+12^{2}}=\sqrt{208}$(cm)，
即MN的长为$\sqrt{208}$ cm。
(2) 由题意可知AN=2t cm，BM=4t cm，
又因为AB=16 cm，
所以BN=AB−AN=(16−2t)cm。
当△MNB为等腰三角形时，有BM=BN，
所以16−2t=4t，解得$t=\frac{8}{3}$，
所以出发$\frac{8}{3}$ s后△MNB是等腰三角形。
(3) 在△ABC中，由勾股定理可求得AC=20 cm，
当点M在AC上运动时，CM=(4t−12)cm。
因为△BCM为等腰三角形，
所以有BM=BC，CM=BC和CM=BM三种情况：
①当BM=BC=12 cm时，如图，过点B作BE⊥AC，
则$CE=\frac{1}{2}CM=2t−6$。
在Rt△ABC中，由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}BE\cdot AC$，
得$BE=\frac{AB\cdot BC}{AC}=9.6$。
在Rt△BCE中，由勾股定理可得$BC^{2}=BE^{2}+CE^{2}$，
即$12^{2}=(9.6)^{2}+(2t−6)^{2}$，
即$(2t−6)^{2}=7.2^{2}$，
即2t−6=7.2或2t−6=−7.2，
解得t=6.6或t=−0.6(舍去)。
②当CM=BC=12 cm时，则4t−12=12，解得t=6。
③当CM=BM时，即∠C=∠MBC，
因为∠C+∠A=90°=∠CBM+∠MBA，
所以∠A=∠MBA，
所以MB=MA，所以CM=AM=10 cm，
即4t−12=10，解得t=5.5。
综上，当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形。