《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

1 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形,这个图形被称为“弦图”.观察图形,可以验证的公式是 (C)
A. $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
B. $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
C. $c^{2}=a^{2}+b^{2}$
D. $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

答案： C

2 (2025南通如皋期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.在一次数学活动中,小明利用如图1所示的5个连排正方形,分割后拼成如图2所示的一个大正方形,就得到了赵爽弦图”.若图1中的小正方形边长为1,则图2中的大正方形ABCD的边长为$\sqrt{5}$.

答案： $\sqrt{5}$

证明:连接DB,过点D作边BC上的高DF,交BC的延长线于点F,
则四边形DFCE为长方形,所以DF=EC=$b - a$.
因为$S_{四边形ABCD}=S_{△ACD}+$$S_{\triangle ABC}$$=$$\frac{1}{2}b^{2}$$+\frac{1}{2}ab$,
且$S_{四边形ABCD}=S_{△ADB}+$$S_{\triangle DCB}$$=\frac{1}{2}c^{2}+$$\frac{1}{2}a(b - a)$,
所以$\frac{1}{2}b^{2}$$+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^{2}+$$\frac{1}{2}a(b - a)$,
即$a^{2} + b^{2} = c^{2}$.

答案： $b - a$ $S_{\triangle ABC}$ $\frac{1}{2}b^{2}$ $S_{\triangle DCB}$ $\frac{1}{2}a(b - a)$ $\frac{1}{2}b^{2}$ $\frac{1}{2}a(b - a)$ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

4 如图,对任意符合条件的Rt△ABC,绕其锐角顶点A逆时针旋转$90^{\circ}$得到Rt△AED($∠BAE=90^{\circ}$),连接BE,延长DE,BC,交于点F,易知四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等,四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,根据图形写出一种证明勾股定理的方法.
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答案： 解：由题意，得$S_{正方形ACFD} = b^{2}$，且$S_{四边形ABFE} = S_{\triangle ABE} + S_{\triangle BEF} = \frac{1}{2}c^{2} + \frac{1}{2}(a + b)(b - a) = \frac{1}{2}c^{2} + \frac{1}{2}b^{2} - \frac{1}{2}a^{2}$。因为$S_{正方形ACFD} = S_{四边形ABFE}$，所以$\frac{1}{2}c^{2} + \frac{1}{2}b^{2} - \frac{1}{2}a^{2} = b^{2}$，整理，得$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。