《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

1 (2024 常州)如图, 在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ AC = 6 $, $ BC = 4 $, $ D $ 是边 $ AC $ 的中点, $ E $ 是边 $ BC $ 上一点, 连接 $ BD $, $ DE $, 将 $ \triangle CDE $ 沿 $ DE $ 翻折, 点 $ C $ 落在 $ BD $ 上的点 $ F $ 处, 求线段 $ CE $ 的长度.
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答案： 解：因为$∠ACB = 90^{\circ},AC = 6,BC = 4$，D是边AC的中点，
所以$CD = \frac{1}{2}AC = 3$，
所以$BD = \sqrt{BC^{2} + CD^{2}} = 5$。
因为将$△CDE$沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，
所以$CD = DF = 3,CE = EF,∠EFD = 90^{\circ}$，
所以$BF = BD - DF = 2,∠BFE = 90^{\circ}$。
设$CE = x$，则$EF = x,BE = BC - CE = 4 - x$，
在$Rt△BFE$中，由勾股定理，得$(4 - x)^{2} = x^{2} + 2^{2}$，
解得$x = \frac{3}{2}$，
故线段CE的长度为$\frac{3}{2}$。

2 如图, 在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, 翻折 $ \angle A $, $ \angle B $ 使点 $ A $, $ B $ 落在斜边 $ AB $ 上的点 $ D $ 处, 折痕分别为 $ ME $, $ NF $, 连接 $ MD $, $ DN $.
(1) 求证: $ \angle MDN = 90^{\circ} $;
(2) 若 $ AC = 6 $, $ BC = 8 $, $ AM = 2 $, 求线段 $ DN $ 的长.
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答案：

(1)证明：由折叠的性质，得$∠MDA = ∠A,∠NDB = ∠B$。因为$∠C = 90^{\circ}$，所以$∠A + ∠B = 90^{\circ}$，
所以$∠MDA + ∠NDB = 90^{\circ}$，
所以$∠MDN = 90^{\circ}$。
(2)解：由折叠的性质，得$AM = DM,NB = ND$，
由
(1)得$∠MDN = 90^{\circ}$。
如图，连接MN，在$Rt△MDN$和$Rt△CMN$中，
设$DN = BN = x$，则$CN = 8 - x$。
因为$AM = MD = 2$，所以$MC = 6 - 2 = 4$，
根据勾股定理，得$CM^{2} + CN^{2} = MN^{2},DM^{2} + DN^{2} = MN^{2}$，即$4^{2} + (8 - x)^{2} = 2^{2} + x^{2}$，解得$x = \frac{19}{4}$，
故线段DN的长为$\frac{19}{4}$。

3 如图, 在长方形 $ ABCD $ 中, $ AB = 3 $, $ BC = 5 $, $ E $ 是 $ BC $ 上的一点, 连接 $ AE $, $ DE $, 把 $ \triangle CDE $ 沿 $ DE $ 折叠得到 $ \triangle C'DE $, 当点 $ C' $ 落在线段 $ AE $ 上时, 求线段 $ CE $ 的长.
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答案： 解：因为四边形ABCD是长方形，
所以$CD = AB = 3,AD = BC = 5,∠B = ∠C = 90^{\circ}$。
由折叠的性质可得$C'E = CE,C'D = CD = 3,∠DC'E = ∠C = 90^{\circ}$，所以$∠AC'D = 90^{\circ}$，
所以$AC' = \sqrt{AD^{2} - C'D^{2}} = 4$。
设$CE = C'E = x$，则$BE = BC - CE = 5 - x,AE = AC' + C'E = x + 4$。
在$Rt△ABE$中，由勾股定理，得$AB^{2} + BE^{2} = AE^{2}$，
所以$3^{2} + (5 - x)^{2} = (x + 4)^{2}$，解得$x = 1$，
故线段CE的长为1。